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L. Kiepert. 
Setzt man dann 
(87) ß — 1, y = Aaq — 
so wird in der That 
d — Aq, x — 
C + Dt 
A ’ 
y-J-tfr' A z uq—A -f- A q G -f- A q D x A(pq—1)-{-w<z't np’-\-nq'x 
a-j- ßx' A a -f- C D x P A~ ( i T P A~ ( 1 T 
und 
ad— ß = -f- 1. 
§ 7. 
Der Rang der Invariantengleichung. 
Die Gleichung, welche zwischen J und J besteht, wirklich zu 
bilden, ist bis jetzt selbst bei den kleineren Werthen von n unter 
lassen worden, weil man sie durch wesentlich einfachere Gleichungen 
ersetzen kann. Wie schon in der Einleitung hervorgehoben wurde, 
giebt es in dem Rationalitätsbereiche (j,j) Htilfsgrössen £, welche 
die Eigenschaft besitzen, dass die Gleichungen 
(1) F($,J)-0 und F l (£,J)~0, 
welche zwischen | und J, bez. zwischen % und J bestehen, in Bezug 
auf J und J von niedrigerem Grade sind als die Invariantengleichung. 
Dieser Grad der Gleichungen (1) ist eine für £ charakteristische 
Zahl und soll deshalb der „Charakter “ von £ heissen. Ist nämlich 
irgend eine andere Grösse des Rationalitätsbereiches (j,j) , so kann 
man auch eine Gleichung zwischen | und tj herleiten, deren Grad in 
Bezug auf rj im Allgemeinen gleich dem Charakter von 2; ist. Ebenso 
ist der Grad dieser Gleichung in Bezug auf § gleich dem Charakter 
von 7]. Nur ausnahmsweise kann sich der Grad dieser Gleichung 
zwischen £ und rj erniedrigen. Dies geschieht z. B., wenn man für 
x] eine rationale Function von £ wählt.*) 
Ist q — 0, so giebt es solche Hülfsgrössen £ mit dem Charakter 1, 
d. h. es giebt Hülfsgrössen £, durch welche sich J und J rational 
darstellen lassen. Ist £ eine solche Grösse, so haben alle übrigen 
die Form 
«j + b 
C ""I“ (l 
Ist 9 = 1, so giebt es unendlich viele Hülfsgrössen £ mit dem 
Charakter 2. Zwischen je zweien besteht eine Gleichung, welche in 
Bezug auf jede der beiden Grössen vom zweiten Grade ist, wenn nicht 
*) Man vergleiche die von Riemann gegebenen Satze aus der Theorie der 
Abel’schen Functionen (ges. Werke, Seite 81 bis 135).