Zur Transformation der elliptischen Functionen. 
51 
Productdarstellung der L nur an solchen Stellen Null oder unendlich 
werden kann, an denen J — oo ist, so findet man nach bekannten 
Sätzen der Algebra das folgende Resultat: 
Der Ausdruck 
(122) 8(n, D) =A, i,«,»- D,) + Ä,t, _ D 2 )+A, S, (V-D,)+• ■ • 
werde, wenn er positiv ist, mit P, und wenn er negativ ist, mit N be 
zeichnet, dann wird 
(123) UP = — UN = 24n • eh, 
wobei die Summation über alle x-Iiepräsentanten zu erstrecken ist. 
Diese Summation kann man schrittweise ausführen, indem man 
zunächst alle i-Repräsentanten berücksichtigt, bei denen D und des 
halb auch A denselben Werth hat. Die Anzahl dieser r-Repräsentanten 
ist nach den Auseinandersetzungen in § 6 gleich — cp (t) und werde 
mit (A) bezeichnet, so dass also 
4^(0 = c A )- 
Dabei ist t der grösste gemeinsame Theiler von A und D. Für alle 
diese ^-Repräsentanten hat nämlich S(n, D) denselben Werth, so dass 
man nur die Werthe der Producte (A)S(n, D) für alle Theiler D zu 
untersuchen hat, die in n enthalten sind. 
Setzt man noch 
(124) {AvyS^D^A^A^t'-DJ+A^-DJ 
-M 3 <W-A)+H==24^, 
so wird nach bekannten Sätzen der Algebra k v eine ganze positive oder 
negative Zahl, weil die (A v ) zu D v gehörigen Werthe von £ 
einen Cyklus bilden und für h — 0 (bez. für J — oo) einander gleich 
werden. Bezeichnet man also die positiven Werthe von k v mit k p und 
die negativen mit k n , so geht Gleichung (123) über in 
(125) Uk p = — Uk n = ch, 
wo die Summation jetzt nur noch über alle Theiler D v von n zu 
erstrecken ist. 
Ist g die Anzahl aller Theiler von n, so bildet man die g Glei 
chungen 
(126) 
(A v )S(n, D v ) = 24nk v . 
Dadurch erhält man z. B. für D 0 — 1, (A 0 ) = A c 
(126 a) ^,^(1 
und für 
erhält man 
(126 b) (D t 
A) + — ^2) + — 
Dp—1 = n, (Afi—1) = A M _i = 1 
1) 1) ^2 + (-^3 — 1)^3 + 
D s ) + • • • — 24ft 0 : 
24/i, ( _i ■ 
1% 
296 
(1* 
*) 
stehen werde, 
andre in Ver- 
diesen sieben 
sodass der 
hnbrechenden 
elbst zur Aus- 
irde sein Plan 
ritt gefördert, 
rren Schröter 
irend das vor- 
schluss dessen 
atischen Ent- 
r behandelten 
amals bekannt 
aufser den 
jrrühren, alle 
biete publiciert 
sichtet und zu 
Zum grofsen 
>en des Herrn 
lche das Werk 
zwischen dem 
von Herrn 
ifl. Hannover 
:h der Unter- 
ser, wie vor- 
n 
Mathematische Wissenschaften. 
H. Schröter, Theorie der Oberflächen zweiter 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°. M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin ¡832), dass 
mag. Herr 
Dden und Be- 
auch Mafs- 
3etrachtungen. 
ahl von inter- 
;t werden, die 
ichungen über 
en Kegel, über 
Hyperboloid, 
e Durchmesser 
e Focalkegel- 
aften, über die 
ung u. dgl. m. 
en Stoffes sehr 
. .J,J Blol auch zuzu 
schreiben ist, dass sich der Herr Verf. auf die Unter 
suchung der Flächen zweiter Ordnung und der 
Raumcurven dritter Ordnung beschränkt hat. Nur 
im letzten Paragraphen findet sich eine kurze An 
deutung über das Vorkommen einer Fläche dritter 
Ordnung, insofern sie der geometrische Ort für die 
Pole einer Ebene in Bezug auf die sämmtlichen 
Flächen eines Flächenbündels zweiter Ordnung ist. 
Dagegen sind alle Untersuchungen, welche sich aut 
die Flächen zweiter Ordnung und auf die Raum 
curven dritter Ordnung beziehen, mit rühmenswerter 
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu 
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist. 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert.