2 Kiepert, Curtentheilung durch complexe Multiplication elliptischer Functionen. 
du = i/dr+ r 2 dtp 2 = -^L=, 
* |/1 — r 6 ’ 
\ 
oder wenn wir r 2 — — setzen, so wird 
(> 
dg f dg 
du = . ■ u — — / -7=1— • 
]/4(> á —4 *4 ]/4p 3 —4 
Der Bogen ist also ein elliptisches Integral erster Gattung, und g ist eine 
elliptische Function des Argumentes u. Setzen wir daher g — pu, so ist 
und zwar ist g genau eine p-Function, wie sie Herr Weierstrass in seinen 
Vorlesungen eingeführt hat. Obgleich diese #>-Function schon mehrfach in 
Dissertationen besprochen ist, will ich doch hier noch einmal ihre Eigen 
schaften, so weit ich sie in dem Folgenden benutze, kurz anführen. 
Wird nämlich eine elliptische Function z des Argumentes u durch die 
Gleichung 
(A) 5 = Az'+4 Bz 3 +6Cz 2 + 4B’z+Ä 
definirt, so lässt sich stets eine Function pu finden, die definirt ist durch die 
Gleichung ' 
dr) 
wo g 2 und g 3 die Invarianten zweiten und dritten Grades der biquadratischen Form 
Az 4 -}- 4 Bz 3 + 6Cz 2 + 4B'z + Ä 
sind. Diese Function pu ist eine gerade Function von u, die nur für Werthe 
von u, welche der Null congruent sind, unendlich wird. Dabei lässt sich pu 
rational ausdrücken durchs und und umgekehrt lässt sich z rational aus- 
drücken durch pu und 
Die Fundamentalperioden der elliptischen Function mögen 2co l und 
2w 3 heissen, und es möge gesetzt werden: 
pu) l — e { , pto 2 —- e 2 , pco 3 = e 3 , 
wobei 
(X>2 = — (O l — C0 3 
ist, dann wird 
(”^r) = v' u = 4 (p u ~ e 0 ~ ®») (v u ~ 
= *pu-g 2 pu-g 3 .