Ueber die complexe Multiplication. 147
ableitet und zur Berechnung der singulären Invarianten benutzt. Von
constanten Factoren abgesehen, sind aber diese drei Hülfsgrössen den
Wurzeln der ¿-Gleichung für die Transformation zweiten Grades gleich,
denn es ist
Jtl 7t i
(2) /*(«>) = <^.¿,(2), f,W = rM 0 (2) ; f 2 (a>) = Ln (2),
und diese drei Grössen ¿«,(2), L 0 (2), ¿,(2) genügen der Gleichung
(3) ¿ 24 - 12j/ 2 L 8 + 16 = 0.
Mit dem gleichen Rechte kann man auch die Hülfsgrössen ¿(3), ¿(4),
¿(5), . . . einführen; ob auch mit dem gleichen Nutzen, hängt natür
lich von dem Grade der Transformation ab, mit welchem die complexe
Multiplication in jedem besonderen Falle in Zusammenhang gebracht wird.
Man kann sogar noch weiter geben und irgend einen Parameter
in gleicher Weise als Hülfsgrösse einführen wie vorher die Grössen
L(2), ¿(3), ¿(4) u. s. w. Ist z. B. der Charakter eines solchen
Parameters gleich 1, so ist die Invariante J eine rationale Function
dieses Parameters. Kennt man also den singulären Werth des Para
meters, so ist damit auch der singuläre Werth der Invariante J selbst
bekannt.
Erster Abschnitt.
Allgemeine Theorie der complexen Multiplication der elliptischen
Functionen.
§ 1.
Begriff der complexen Multiplication.
Bei der ganzzahligen Multiplication der elliptischen Functionen
handelt es sich bekanntlich darum, die elliptische Function sin 2 am (mw, ft)
als rationale Function von sin 2 am (u, ft) darzustellen, wobei m eine
ganze rationale Zahl ist, oder wenn man sich der Bezeichnungen des
Herrn Weierstrass bedient, so handelt es sich darum, die elliptische
Function p{mu, g 2 , g 3 ) als rationale Function von p{u, g 2 , g 3 ) dar
zustellen, was durch die Gleichung
(4) p(mu, g 2 , g 3 ) = B[p(u, g 2 ,g 3 )']
angedeutet werden möge.
Es ist nun die Frage, unter welchen Bedingungen ist eine solche
Darstellung noch möglich, wenn m nicht mehr eine ganze rationale
Zahl ist?
296
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Die Antwort ergiebt sich unmittelbar aus der folgenden Be
trachtung.
Bezeichnet man ein primitives Periodenpaar von p
2co, 2<a', so folgt aus der Gleichung (4), dass auch 2
0, 92, 9z) rai *
m co und 2ma
10 s
Mathematische Wissenschaften.
H. Schröter, Theorie der Oberflächen zweiter
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach
Jakob Steiners Principien auf synthetischem
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S.
gr. 8°. M. 16.
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin i832), dass
Betrachtungen,
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den Stoffes sehr
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schreiben ist, dass sich der Herr Verf. auf die Unter
suchung der Flächen zweiter Ordnung und der
Raumcurven dritter Ordnung beschränkt hat. Nur
im letzten Paragraphen findet sich eine kurze An
deutung über das Vorkommen einer Fläche dritter
Ordnung, insofern sie der geometrische Ort für die
Pole einer Ebene in Bezug auf die sämmtlichen
Flächen eines Flächenbündels zweiter Ordnung ist.
Dagegen sind alle Untersuchungen, welche sich aut
die Flächen zweiter Ordnung und auf die Raum
curven dritter Ordnung beziehen, mit rühmenswerter
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist.
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft,
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche
Fortsetzung folgen lasse.
Hannover. L. Kiepert.
