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L. Kiepert. 
Perioden von ß(u, g 2 > g d ) sein müssen, d. h. es muss, da es auf das 
Vorzeichen von m dabei nicht ankommt, 
f — m co — p' co 4- q co', 
(5) 1 “ ' " 
m co 
p"co-f- q” co' 
sein, wobei p, q, p", q" positive oder negative ganze Zahlen sind. 
Setzt man nun noch 
(6) 
so folgt hieraus die Gleichung 
co’ p” coq" co’ 
oder x — 
P +qr ’ 
co p’ co-\- q w * 
also 
(7) qx 2 + (p— q)x — p = 0. 
Dabei müssen die Wurzeln dieser ganzzahligen Gleichung complex 
sein, d. h. es muss 
(8) {p—q T + 4 pq = (p' + ^T — 4 (pq'—p'q) 
negativ sein, damit die elliptische Function ^(m,^ 2 ,^ 3 ) doppelt-perio 
disch ist. Der Multiplicator 
(9) 
m 
— (p'+q0 = 
v +ä'* 
wird, wenn q gleich 0 ist, eine ganze Zahl, so dass in diesem Falle 
nur ganzzahlige Multiplication stattfindet. Ist aber q von 0 verschieden, 
so ist auch der Multiplicator m eine complexe Zahl, wodurch die Be 
zeichnung „complexe Multiplication der elliptischen Functionen u gerecht 
fertigt wird. 
Möglicher Weise haben die Coefficienten in Gleichung (7) noch 
einen gemeinsamen Factor /, so dass also 
(10) q=f.A, p—q" = f.B, — p” =f.C 
wird, dann kann man die Gleichung (7) auf die Form 
(11) Ax 2 + Bx + 0=0 
bringen, wo die drei Coefficienten A } B, C keinen Factor mehr gemein 
haben, und wo die Determinante 
(12) D = B 2 — 4AC < 0 
ist. 
Man kann auch umgekehrt von der Gleichung (11) ausgehen, 
indem man für A, B, C drei beliebige ganze Zahlen ohne gemein 
samen Factor wählt, so dass sie der Ungleichung (12) genügen. Hierbei 
hat der Fall, wo B eine ungerade Zahl ist, dasselbe Interesse wie der 
Fall, wo B eine gerade Zahl ist. Um beide Fälle gleichzeitig zu 
berücksichtigen, werde die Zahl s eingeführt, die gleich 0 sein möge, 
wenn B gerade, und die gleich 1 sein möge, wenn B ungerade ist, also