WÊÊKÊÊÊBÊKÊ 
V 
Ueber die complexe Multiplication. 
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(13) 
Ferner sei 
(14) 
dann wird 
(15) 
(16) 
Í s = 0 oder 1, jenachdem B gerade oder ungerade, 
[B = B 2 - 4MG 1 = — (4n — e). 
s -f- iV 4n — £ 
— B + s + 2 ft 
m 
co 2 A 
, , ' , B — s r 
— p — q T — p H n—/ 
/>> 
oder, wenn man die ganze Zahl p — 
B-s 
f mit g bezeichnet, 
(16a) m = — g — />. 
Dabei sind f und g noch ganz beliebige, von A, B, C unabhängige 
ganze Zahlen. Aus diesen 5 beliebigen ganzen Zahlen findet man 
dann die ganzen Zahlen p, q, p'\ q" durch die Gleichungen 
P — 9 A 2—f* 2 “ * 
B + s 
[P " 
(17) 
9 ~ 
f- 
Man darf hierbei die Voraussetzung machen, dass jt/ und g' keinen 
gemeinsamen Factor a haben, denn wäre 
P = <*Pi i = «ff/» 
so wäre « auch ein ganzzahliger Factor von wt, Aveil nach Glei 
chung (16) 
m = —p — qt = — a{p t r +qit) = 
sein würde. Man könnte daher durch ganzzahlige Multiplication mit 
dem Factor a zunächst ^(kWj«, g 2 , g s ) rational durch g 2 , g 3 ) 
darstellen und hätte dann nur noch die complexe Multiplication mit 
dem Multiplicator m { durchzuführen, für welchen die Voraussetzung, 
dass p t ' und q{ theilerfremd sind, zutrifft. 
Ebenso darf man die Voraussetzung machen, dass q und q theiler 
fremd sind. Es wird nämlich nach den Gleichungen (10) 
m «= —■ (P A~ 9 x ) == — (9 A~ Bf A~ 9 x ) = — (9'A-9 x i)> 
wobei 
Bf , B^ , + « + 2 g 
Ar x — A 
a 
-j- T = 
2 A 
so dass 
(18) 
genügt. 
so wäre 
der Gleichung 
Ar* 
Wäre also 
9 
Bt x + (7 = 0 
ß<h', 9=ß9i\ 
m — — {q A’9 t i) — — ß(9i"Ar9i x j) — ß m i- 
Mathematische Wissenschaften. 
H. Schröter, Theorie der Oberflächen zweiter 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°. M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin i832), dass 
296 
>estehen werde, 
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schreiben ist, dass sich der Herr Verf. auf die Unter 
suchung der Flächen zweiter Ordnung und der 
Raumcurven dritter Ordnung beschränkt hat. Nur 
im letzten Paragraphen findet sich eine kurze An 
deutung über das Vorkommen einer Fläche dritter 
Ordnung, insofern sie der geometrische Ort für die 
Pole einer Ebene in Bezug auf die sämmtlichen 
Flächen eines Flächenbündels zweiter Ordnung ist. 
Dagegen sind alle Untersuchungen, welche sich aut 
die Flächen zweiter Ordnung und auf die Raum 
curven dritter Ordnung beziehen, mit rühmenswerter 
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu 
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist. 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert.