Man würde also auch in diesem Falle die ganzzahlige Multiplication 
mit dem Factor ß und dann nur noch die complexe Multiplication mit 
dem Multiplicator m t = — {d\"~\~d\ x \) auszuführen haben, wobei man 
die Zahlen q{ und q± als theilerfremd voraussetzen darf. 
Dabei sind, wie in § 3 gezeigt werden soll, die Werthe der abso 
luten Invariante J", welche x und x { entsprechen, entweder einander 
gleich, oder sie sind doch Wurzeln derselben Gleichung. 
Bezeichnet man mit m die zu m conjugirt complexe Grösse und 
mit n die Norm der beiden Zahlen m und m } dann folgt aus den 
Gleichungen (16), (14) und (7) 
(ni = — q + qx, 
\ n = 
oder 
(19 a) n = g 2 — sfg -f- f 2 n. 
d W - d) T + d'* 2 ] = P'd" — P" di 
Zurückführung der complexen Multiplication mit m auf eine 
Transformation vom Grade n. 
Da q nach Voraussetzung zu p und q theilerfremd ist, so muss 
q nach Gleichung (19) auch theilerfremd zu n sein. Es giebt also 
zwischen 0 und n — 1 eine ganze Zahl r, für welche 
(20) qr = — q (mod. n) 
ist, oder, was auf dasselbe hinauskommt, es giebt zwei ganze Zahlen 
q und r, für welche 
(20 a) qn -f- d r + d — 0 
wird. Multiplicirt man diese Gleichung mit p, und beachtet man, 
dass nach Gleichung (19) 
Pd = » + P"d 
wird, so findet man 
(21) w(l +p'd) + d'(p'r+p") = 0. 
Da q theilerfremd zu n ist, so muss pr -f- p" durch n theilbar sein, 
d. h. es giebt eine ganze Zahl p, welche der Gleichung 
(22) pn + pr + p" — 0 
genügt. Nach Fortlassung des Factors — n geht daher die Gleichung 
(21) über in 
(23) Pd —pq = + 1. 
Dabei kann noch die Beschränkung, dass die Zahl r zwischen 0 und 
n—1 liegt, aufgehoben werden; man kann vielmehr noch ein be 
liebiges Vielfache von n zu r addiren. 
Nach diesen Vorbereitungen kann man ohne Weiteres zeigen,