Kiepert, Curventheilung durch complexe Multiplication elliptischer Functionen. 
und 
(9.) </>(«) 
amu 
G n u ’ 
dann hat diese Function ep(u) die Perioden 2co 1 und 2cu 3 , wie wir sogleich 
beweisen wollen. Es ist: 
Gm(u J r 2co l ) = o(mu J r2mu) 1 ) 
— G (mu -f 2aœ i -f 2ßw 3 ) 
— ^\yß+a+ß e (2a^+2 / S^ 3 )(m«-f orw,-f/Sw 3 ) 
Nun ist aber 
2ar] i J r 2ßri 3 = (a -f ß?) 2r¡ í — 2m'r¡ l 
und 
mu + ccü) 1 + ßa> 3 — mu-{- co t (a + ß&) = m{u-\- a^), 
folglich ist 
(10.) Gmiii^F 2co x ) = (—l) a ^ +a+ ^ e 2nr, ^ w+u>i) Gmu. 
Vermehren wir im Nenner u um 2oo lr) so folgt aus 
o (u J r2co l ) — — e 2i ?i( u +«i) au 
(11.) a n (w+2co 1 ) = (-1 )V n * ( “ +w 'V^ 
also 
<p(w-j-2w A ) = (—l) 0/ ' + “ +/S+ ”^)(w). 
Da aber n = a 2 -\-ß 2 — aß, so wird 
a/3-p «+/3 + « = « 2 +«+/5 2 +Ä 
und dies ist stets eine gerade Zahl, da « 2 -fa und ß 2j rß einzeln gerade 
Zahlen sein müssen. Wir haben also 
(12.) (p{u-\-2a) l ) = (p{u). 
Eben so lässt sich zeigen, dass 
(13.) (p(u + 2co 3 ) = <p(u). 
Wir wollen jetzt untersuchen, für welche Werthe von u diese elliptische 
Function unendlich und für welche Werthe sie gleich Null wird. Da ou mit 
u zugleich verschwindet, so wird der Zähler für m —0 unendlich klein von 
der ersten Ordnung, der Nenner aber unendlich klein von der n ten Ordnung, 
es wird also für u — 0 die Function cp{v) unendlich gross von der (n—l) ten 
Ordnung, und ausserdem giebt es keine Werthe von u, welche <p(u) unend 
lich gross machen und u~ 0 nicht congruent sind. 
Daraus folgt, dass <p(u) auch genau für n—1 nicht congruente Werthe 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°- M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten 1 ’ (Berlin i832), dass 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu 
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist. 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert.