I 
I 
Ueber die complexe Multiplication. 
151 
dass die complexe Multiplication mit dem Multiplicator m auf eine 
Transformation vom Grade n zurückgefülirt werden kann. Es gilt 
nämlich ganz allgemein, was auch m sein mag, die Formel 
(24) m 2 p{mu \ a, co') = p (u j ~), 
wobei man auf der rechten Seite das primitive Periodenpaar 
noch durch ein anderes, z. B. durch 
2 p a , 2 # cf 
"T 
2p w _j_ 2 q'œ' 
m * m m ‘ m 
ersetzen kann. Nun ist aber nach den Bestimmungen, die hier über die 
Grössen - = t, p, q, p, q, m und r getroffen sind, 
2 qco' —2r(p' 03-\- q cd)—2(p" oa-{-q co ) 2 r co -f- 2 co 
m ' 
(25) 
m 
— 2cu; 
folglich geht die Gleichung (24) über in 
(26) m 2 $>(mu | 05, co') = p (u j ; — «)> 
wobei sich f (u j , — <») durch Transformation n ien Grades als 
rationale Function von p{u \ co, co') darstellen lässt. 
Man nennt daher n den Grad der complexen Multiplication. 
§ 3. 
Anzahl der singulären Invarianten, welche demselben Werthe der 
Determinante B = B 2 — 4AC= — (4n—s) entsprechen. 
Zu jedem Werthe der negativen Determinante B 2 — 4 AC gehören 
noch unendlich viele Werthe von A, B, C; denn zunächst kann man 
den Werth von B noch ganz beliebig*) annehmen und findet dann 
aus der Gleichung 
4 AC = B 2 -D 
noch eine endliche Anzahl von Werthepaaren für A und C. Deshalb 
ist auch die Anzahl der Werthe, welche t haben darf, und welche der 
selben Determinante entsprechen, noch unendlich gross. Dagegen ist 
die Anzahl der entsprechenden Werthe des zugehörigen Moduls h 2 
oder der zugehörigen absoluten Invarianten 
( T /vi 3 ffz 3 = JL. ( fc4 ~ fe2 + 1 ü- 
I ^—72 — gf-vigf 27 —№)* 7 
I- . 21 y 2 27 g 3 2 _ 1 (—2/c 6 4-3fc 4 -f 3fc 2 —2) 2 
J— 1 
27 g 3 z 
*) Natürlich muss man für JB eine gerade oder ungerade Zahl nehmen, je- 
nachdem D = 0 oder DeI (mod. 4) ist. 
mmm 
¿7 
296 
Mathematische Wissenschaften. 
H. Schröter, Theorie der Oberflächen zweiter 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°. M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vori'ede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin i832), dass 
xestehen werde, 
andre in Ver- 
n diesen sieben 
l, sodass der 
ahnbrechenden 
selbst zur Aus- 
urde sein Plan 
hritt gefördert, 
erren Schröter 
ihrend das vor- 
bschluss dessen 
natischen Ent- 
ier behandelten 
damals bekannt 
aufser den 
lerrühren, alle 
ebiete publiciert 
esichtet und zu 
. Zum grofsen 
igen des Herrn 
welche das Werk 
; zwischen dem 
en von Herrn 
Lufl. Hannover 
ich der Unter- 
)fser, wie vor- 
ün mag. Herr 
loden und Be- 
ht auch Mafs- 
Betrachtungen. 
zahl von inter- 
igt werden, die 
suchungen über 
gen Kegel, über 
;e Hyperboloid, 
lie Durchmesser 
iie Focalkegel- 
raften, über die 
nung u. dgl. m. 
den Stoffes sehr 
wol auch zuzu 
schreiben ist, dass sich der Herr Verf. auf die Unter 
suchung der Flächen zweiter Ordnung und der 
Raumcurven dritter Ordnung beschränkt hat. Nur 
im letzten Paragraphen findet sich eine kurze An 
deutung über das Vorkommen einer Fläche dritter 
Ordnung, insofern sie der geometrische Ort für die 
Pole einer Ebene in Bezug auf die sämmtlichen 
Flächen eines Flächenbündels zweiter Ordnung ist. 
Dagegen sind alle Untersuchungen, welche sich aut 
die Flächen zweiter Ordnung und auf die Raum 
curven dritter Ordnung beziehen, mit rühmenswerter 
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu 
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist. 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert. 
/V