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L. KlEPERT. 
Häufig kann man auf diese Weise nicht nur eine Wurzel der 
L-Gleichung berechnen, sondern sogleich zwei oder mehr. Dies ge 
schieht nämlich, wenn man für den vorliegenden Werth von i die 
ganzen Zahlen f und g auf verschiedene Weise bestimmen kann, so 
dass das Yerhältniss der beiden zugehörigen Multiplicatoren m 
und m 1 keine Wurzel der Einheit ist. Dabei müssen natürlich m 
und m i beide die Zahl n zur Norm haben. 
So erhält man z. B. aus 
m == x -f- yi ]/D und m — x 
unmittelbar ein zweites Werthepaar 
m x = — x -f- yi YD und m x = — x — yi yi) 
Diese beiden Multiplicatoren m und m x liefern dann auch verschiedene 
Werth e von r und L r , wenn —- keine Wurzel der Einheit ist. 
’ m { 
Kennt man also die L- Gleichung für die Transformation vom 
Grade n, so erhält man durch Einsetzen eines jeden Werthes von L r 
auch eine Gleichung zur Bestimmung der singulären Invariante. 
In den folgenden Beispielen kommt am häufigsten der Fall zur 
Anwendung, wo f — — 1 ist, dann wird 
(43) m = - g -f g, n = g* + eg + 1t, 
Nimmt man sodann für r den Werth, welcher der Hauptclasse 
(1, 0, Tt) bezw. (2, 1, 2n) entspricht, setzt man also 
— s 4- i Yin — s 
t = /a = L 
so erhält man 
(44a) p = g, q = — 1, p" = tt, q = g + £, r = a n -f g + £, 
P = — ug — 1, q = 
wobei a noch eine beliebige ganze Zahl ist. Für a — 0 wird daher 
und für a — 1 wird 
Deshalb folgt aus Gleichung (42) 
j Lg+e (n) — n (¿7-1-«—3) — (£/H-6) . ym, 
ii„ +? 4. e (w) = Q- n (n+g+*-S) — (fir+5) . 
jenachdem man a — 0 oder cc — 1 setzt.