Ueber die complexe Multiplication. 
(67) X 24 — 12 X 8 -f 16 = (X 8 + 4) (X 8 — 2) 2 = 0 
und 
(68) X 12 + 10X ß - 12X 2 +5 = (X 4 -2X 2 + 5)(X 4 +X 2 -f 1) 2 = 0. 
In gleicher Weise zerfällt für alle Primzahlen n von der Form 
Al -f- 1 die linke Seite der X-Gleichung in einen Factor zweiten 
Grades von der Form X 4 -j- aL 2 -f- n und in das Quadrat einer ganzen 
rationalen Function 2Z ten Grades von X 2 , wenn man y 2 = 1 setzt. 
Von dieser Eigenschaft der X - Gleichungen, die ich übrigens schon 
früher häufig benutzt habe, um die unbestimmten Coefficienten der 
X-Gleichungen zu berechnen, wird an einer anderen Stelle noch aus 
führlicher die Rede sein. 
II. d — — 2, einzige Classe (1, 0, 2), 
(69) 
(70) 
(71) 
—)— 2 = 0, t = [i = ij/2, n = 2, 
X 0 (2) =VTy5, X 0 (2) 8 = 4 nach Gl. (47), 
12y 2 = 20, 27 y 3 = 7 /2 nach Gl. (53). 
man auch durch Transformation vom 
Dasselbe Resultat findet 
Grade 3; es ist nämlich 
l72) 
L 1 (3) = ? -‘l/— l + i/2, L t (3)° - bi 
¿ 2 (3) = í ,-‘T / +T+í72 r , £ 2 (3) 8 = ^2 + 5¿ 
Dach Gl. (48), 
nach Gl. (49). 
Die X-Gleichung für n — 3 muss daher durch den Factor 
(X 6 -X 1 6 )(X 6 r r12 
X 2 6 ) = X 12 — 2/2X 6 -f- 27 
theilbar sein; deshalb bringt man die Gleichung (54) auf die Form 
(73) (X 12 — 2/2X 6 + 27) (X 12 + 2/2X 6 — 1) 
+ 8(27y 3 — 7/2) X 6 = 0 
und schliesst daraus wieder 
27^3 = 7/2, 12 y 2 = 20. 
III. d — — 3, einzige Classe (1, 0, 3), 
(74) r 2 + 3 = 0, t = g = 3, n = 3, 
(75) Z 0 (3) = X 0 (3) 6 = — 3/3 nach Gl. (47), 
(76) l8y 3 =ll/3, 12y 2 = 30/2 nach Gl. (54). 
Dasselbe Resultat findet man auch aus der Transformation vom 
Grade 4; es ist nämlich 
Mathematische Wissenschaften. 
H. Schröter, Theorie der Oberflächen zweiter 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°. M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin i832), dass 
gestehen werde, 
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wol auch zuzu 
schreiben ist, dass sich der Herr Verf. auf die Unter 
suchung der Flächen zweiter Ordnung und der 
Raumcurven dritter Ordnung beschränkt hat. Nur 
im letzten Paragraphen findet sich eine kurze An 
deutung über das Vorkommen einer Fläche dritter 
Ordnung, insofern sie der geometrische Ort für die 
Pole einer Ebene in Bezug auf die sämmtlichen 
Flächen eines Flächenbündels zweiter Ordnung ist. 
Dagegen sind alle Untersuchungen, welche sich aut 
die Flächen zweiter Ordnung und auf die Raum 
curven dritter Ordnung beziehen, mit rühmenswerter 
Gründlichkeit und mit dem Zwecke entsprechender 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu~ 
samrhengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk verpflichtet ist. 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert. 
1% 
, 9 6