6 Kiepert, Currentheilung durch complexe Multiplication elliptischer Functionen. 
von u gleich Null wird; diese Werthe seien w l9 & 2 , ... u n _ x . cp(u) kann aber 
nur verschwinden, wenn der Zähler omu verschwindet, wenn also mu=2kco l -\-2lco i 
wird. Wir haben daher 
mux — 2kco l ~\-2lu) 3 , 
oder 
mniui — nui — m! {2ku) x -\-2lü)ß, 
mix = («ßt~)(k£-\-l€')2(J0 2 
— 2oo 2 {a{ks-{-h 2 )-\-ß{k-\-h)}. 
Bezeichnen wir mit u\ die zu ux conjugirt complexe Grösse, so ist 
nu[ — 2co 2 \c'-(k£ 2j rk) J rß(k J rle~)\, 
(14.) n{ux+u'x) = 2co 2 \a(-k-l)-\-ß(2k-l)\. 
Jetzt nehmen wir an, n sei eine Primzahl, dann müssen a und ß relativ 
prim sein, denn jeder Factor, den sie gemeinsam haben, tritt in n als qua 
dratischer Factor auf. Wir können deshalb 2 Zahlen y und d finden, so dass 
ad -\-ßy = 1. 
k und l sind ganz beliebige Zahlen, deshalb können wir setzen 
(15.) k = l(y-d), l = l{-y-2ö). 
Tragen wir diese Werthe in Gleichung (14.) ein, so kommt 
niux+iix) — 2coßülad-{-Slßy} 
= 6hv 2 (adßy) — 6äo> 2 . 
Wenn wir k und l diese Werthe geben und l die Werthe von 1 bis n — 1 
durchlaufen lassen, so erhalten wir n— 1 Werthe u ls für welche <~p{uj) ver 
schwindet; es ist nur noch zu zeigen, dass sie ein vollständiges System in- 
congruenter Werthe von u darstellen, für welche cp(u) verschwindet. Es ist 
u x -{-iii = —2co 2 , u 2 -\-u 2 — —2 œ 
2 ? 
3 n — 3 
2co, 
Wenn aber n nicht durch 3 theilbar ist, — was stets der Fall ist, da n eine 
Primzahl sein soll, — so sind diese n Grössen in der That incongruent, folg 
lich erst recht «j, m 2 , ... u n _ x . Da es aber überhaupt nur n—1 incongruente 
Wierthe von u giebt, für welche <p(u) verschwindet, so repräsentiren « 19 
«j, ... u n _ t ein vollständiges System incongruenter Werthe von u, für welche 
ip(u) — 0 wird. 
Zugleich ergiebt sich folgendes: Wenn wir pu k aufgefunden haben, so