8 Ki epert, Curventheilung durch complexe Multiplication elliptischer Functionen. 
folglich können wir sie so darstellen. Setzen wir diese Function von pu 
gleich Null, so erhalten wir eine Gleichung, deren Wurzeln die Grössen pu x 
sind, weil die linke Seite cpiu) für u = u x verschwindet. 
Da pu eine gerade elliptische Function ist, so wird pv> — piv sein, wenn 
sich v von — w nur um eine ganze Periode unterscheidet. Dies ist der 
Grund, weshalb von den Grössen 
pUi, pu 2 , . . . pu n _! 
je zwei einander gleich werden, und dass die Anzahl der Wurzeln jener 
Gleichung sich auf —reducirt. 
n—1 
Aus der Entwickelung von (p(u) folgt, dass der Coefficient von (pu) 2 
gleich m wird. Die Bestimmung jener Gleichung von pu wird noch wesent 
lich vereinfacht durch folgende Eigenschaft von (p{u): Wenn n — cc-\-ß 2 —aß 
eine von 3 verschiedene Primzahl ist, so hat n stets die Form 6#+1, 
und umgekehrt lässt sich jede Primzahl von der Form 6#+l auf die Form 
cr-\-ß'—aß bringen. Deshalb folgt aus der Gleichung otu = tau 
1 amu 
(p (tu) — 
iamu 
£”a' l u 
(p(u). 
£ öq q,i u 
(p(u) ändert sich also nicht, wenn wir tu statt u setzen, folglich darf sich 
dann auch jene Function von pu nicht ändern. Nun ist aber ptu = tpu, folglich 
darf nur der Cubus von pu Vorkommen. 
Somit ist bewiesen: 
Wenn n = 6q+i ist, so wird (p(u) eine ganze rationale Function 
q ten Grades von pu, die wir leicht auffinden können, indem wir setzen 
( p(u) = m\p q u-\-A l p q z u-\-A 2 p q [) u-\rAg\. • 
Entwickeln wir auf beiden Seiten nach Potenzen von u und setzen die Coeffi- 
cienten gleicher Potenzen einander gleich, so bestimmen sich daraus die 
Grössen An A 2 , ... A r Die Wurzeln der Gleichung 
p 3 *-YA l p 3 *- 3 +A 2 p^- 6 +"-+A q = 0 
sind dann die gesuchten Grössen und geben die Lösung der allgemeinen 
Aufgabe. 
Wir wollen zum Schluss noch die Grössen A x , A 2 und A 3 wirklich 
berechnen. Dazu brauchen wir die Entwickelungen von ou und pu. Diese 
sind für #2 = 0 und #3 = 4 
ou — u+aiU'A-aiU^ + aiU™^—,