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Ueber Epicycloiden, Hypocyeloiden etc. 
die zu P gehörige Tangente der Polarcurve zu construiren, hat man daher 
(is in dem Verhältnis von 1 zu n zu theilen und den Theilpunkt mit P zu 
verbinden, dann ist diese Gerade Pt' die gesuchte Tangente der Polar 
curve. 
Die Punkte P, t, t' bilden ein Polardreieck. 
3. (Fig. 1.) Durch reciproke Eadii vectores verwandelt sich die Tan 
gente Pt der Polarcurve in einen Kreis, dessen Durchmesser nach bekann 
ten Sätzen vi t ist. Dieser Kreis geht durch die reellen oder imaginären 
Schnittpunkte des Kreises m 2 mit Pt' und berührt die Fusspunktscurve im 
Punkte M. Wir haben daher den Satz: Nimmt man die Eadii vec 
tores der Anfangscurve zu Durchmessern von Kreisen, so 
hüllen diese Kreise die zugehörige Fusspunktscurve ein. 
Wir nennen diese Kreise Tangentialkreise der Fusspunktscurve. 
4. (Fig. 1.) Die Tangente des Tangentialkreises im Punkte M ikt 
auch Tangente der Fusspunktscurve; sie sei ML, dann ist nach bekannten 
Sätzen 
LMP— <)^ mtM— mPt'. 
Daraus folgt der Satz: Die Tangente der Fusspunktscurve 
und die entsprechende Tangente der Polarcurve bilden mit 
dem zugehörigen Eadius vector gleiche, aber entgegen 
gesetzte Winkel. (Dieser Satz gilt für je zwei Curven, von denen die 
eine aus der andern durch reciproke Eadii vectores hervorgegangen ist.) 
In unserem Falle ist t'MP ein rechtwinkliges Dreieck und deshalb ist 
L die Mitte der Hypotenuse Pi. 
5. Wir erhalten alle Erzeugenden der Anfangscurve, wenn der Punkt ¡u 
die Kreisperipherie einmal durchläuft. Gleichzeitig durchläuft s die Kreis 
peripherie n-mal; der Punkt s wird daher n -p 1 - mal mit dem Punkte p zu 
sammenfallen, je nachdem sich die beiden Punkte im gleichen oder im ent 
gegengesetzten Sinne bewegen. Diese Stellen, an denen s mit p zusam 
menfällt, seien u i , a 2 ... ti„qn. Sie theilen den Kreis in n ^p 1 gleiche Theile 
und die Tangenten des Kreises in ihnen sind gleichzeitig Tangenten der 
Anfangscurve, der Fusspunktscurve und der Polarcurve, denn in einem 
solchen Punkte u fallen die Punkte p, s, i, t\ M, P und L zusammen, wo- 
raus folgt : In den « 1 Punkten w,, u 2 ... u n q; i b e r ü h r e n s i c h d e r 
Kreis m 2 , die Anfangscurve, die Fusspunktscurve und die 
Polarcurve gegenseitig. Ausserdem werden alle vier Cur 
ven durch diese Punkte in nllp 1 gleiche Theile getheilt. Die 
Punkte Uj, n 2 ... v n -t i nennen wir die Scheitel der Curven. 
6. Da in den beiden Scheiteln n { und u 2 der Punkt p mit dem Punktes 
zusammenfällt, so wird s der Gegenpunkt von p sein, wenn p in der Mitte 
zwischen u i und u 2 liegt. Die Gerade ps hat dann als Durchmesser des 
Kreises m 2 < 
Es giebt 
Kreises m 
und d e r e 
von der] 
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B e r ii h r u r 
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irisch ist 
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