Yon Dr. L. Kiepert. 
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hat man daher 
lpunkt mit P zu 
ente der Polar- 
dt sich die Tan- 
I ler nach bekann- 
oder imaginären 
spunktscurve im 
i e R a d i i v e c - 
Kreisen, so 
scurve ein. 
i'usspunktscurve. 
m Punkte M iist 
nach bekannten 
spunktscurve 
ve bilden mit 
er entgegen - 
u, von denen die 
•gegangen ist.) 
k und deshalb ist 
wenn der Punkt g 
iläuft s die Kreis 
lern Punkte p zu- 
chen oder im ent- 
n s mit p zusam- 
f 1 gleiche Tlieile 
ig Tangenten der 
e, denn in einem 
L zusammen, wo- 
ü h r e n sich der 
mrve und die 
alle vier C u r - 
p getheilt. Die 
p. 
i mit dem Punkte s 
enn p in der Mitte 
Durchmesser des 
Kreises m 2 ein Maximum ihrer Länge und infolge dessen auch Ifi und is. 
Es giebt also ?г + 1 Erzeugende £, welche Durchmesser des 
Kreises от 2 sind, ihn ebenfalls in n qpi gleiche Th eile t heilen, 
und deren Berührungspunkte ein Maximum des Abstandes 
von der Peripherie des Kreises m 2 haben. Diese Erzeugen 
den sind daher Rückkehrtangenten der Anfangscurve, ihre 
Berührungspunkte sind Spitzen und liegen alle auf der Pe 
ripherie eines Kreises [m 2 ], der mit dem Kreise m 2 concen- 
fl -1- 2 e 
trisch ist und den Radius —-— r hat. Sie theilen die Peri- 
n + L 
pherie dieses Kreises und die Anfangscurve i n тг + 1 gleiche 
Tlieile. 
7. Die diesen Rückkehrtangenten entsprechenden Punkte M fallen alle 
in den Mittelpunkt m des erzeugenden Kreises m 2 . Der Punkt m ist da 
her я +Ifacher Punkt der Fusspunktscurve und die zugehö 
rigen и + 1 Tangenten stehen senkrecht auf den entsprechen 
den Rückkehr tangen ten. Auch hier trennt der Punkt m n + 1 
gleiche Theile der Curve von einander. 
8. Die Polar curve hat 77 + 1 Punkte im Unendlichen und 
die zugehörigen Asymptoten bilden ein reguläres n-j-l-Seit, 
ix 1 1~* X • 
das einem Kreise mit dem Radius - r und dem Mittel- 
n -j- 1 
punkte m umschrieben ist. Der Radius des Kreises beträgt nämlich 
—r. da die Spitzen der Anfangscurve auf dem Kreise [m 2 ] mit dem Ra- 
n -j- 1 
dius r liegen. 
71+1 
Auch hier sind ?г1р 1 gleiche Curvenzweige durch das Unendliche von 
einander getrennt. 
Kachdem wir diese charakteristischen Punkte der Curve aufgefunden 
haben, wollen wir zeigen, dass die Anfangscurve und die Fusspunktscurve 
auch durch rollende Bewegung entstehen können. 
9. (Fig. 2.) Es möge der Punkt u l} in dem p und s zusammenfallen, 
als Anfangspunkt der Bewegung betrachtet werden. Um den Punkt m sei 
- 77 _i_ 1 
ausser dem Kreise m 2 noch der Kreis [m 2 ! mit dem Radius —¡—-r beschrie- 
ben, der von der Geraden mu { in und von m ¡x in v getroffen wird, 
Ueber pv als Durchmesser sei ein Kreis beschrieben, der also den Radius 
hat, von der Erzeugenden ps in einem Punkte t geschnitten wird 
77+1 
und dessen Mittelpunkt c heissen möge. Wir haben den Durchschnitt dieses 
Vollständigkeit zu einem organischen Ganzen zu 
sammengestellt, sodass das mathematische Publikum 
dem geschätzten Herrn Verf. zu aufrichtigem Danke 
für sein schätzbares Werk verpflichtctTiw^ 
An diesen Dank sei noch die Bitte geknüpft, 
dass Herr Sch. dem vorliegenden Buche noch manche 
Fortsetzung folgen lasse. 
Hannover. L. Kiepert. 
Ordnung und der Raumcurven dritter Ordnung 
als Erzeugnisse projectivischer Gebilde. Nach 
Jakob Steiners Principien auf synthetischem 
Wege abgeleitet. Leipzig, Teubner, 1880. 720 S. 
gr. 8°. M. 16. 
Jakob Steiner sagt in der Vorrede zu seinem 
Hauptwerke „Systematische Entwickelung der Ab 
hängigkeit geometrischer Gestalten” (Berlin i832), dass