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VECTEURS 
et par suite 
PA. PA 7 = PQ 2 + 2 PO. Qa + QA. QA', 
et, en multipliant par bc, 
PA. PA 7 .bc = PQ 2 .6c + 2PQ.ÿâbc + QÂ.QA 7 .bc. 
Nous avons de même 
PB. PB 7 . ca — PQ 2 . câ A- 2 FÜ. Qb. câ A- QB. QB 7 .câ, 
FC.PCLâb —PQ 2 .âb A-2PQ.Qc.ab A-QC-QÜ 7 .ab. 
Ajoutons ces trois égalités membre à membre, nous obtenons 
une nouvelle égalité dans laquelle le premier membre est/(P). 
Dans le deuxième membre, le coefficient de PQ 2 est 
bc —|— ca —{— ab j 
il est nul d’après la formule de Chasles. 
Le coefficient de 2PQ est 
Qâ.bc~\-Qb.ca-{-Qc.ab; 
il est également nul d’après la formule d’Euler. 
Enfin le terme indépendant de PQ est /(Q); on a donc bien 
/(P)=/(Q), 
ce qui démontre le théorème. 
31. Relation de Stewart. — Étant donnés quatre points A, B, 
C, P sur un axe orienté, on a Végalité 
PA 2 . BC + FB 2 . CÂ + PC 2 . ÂB + BC. Ci. AB = 0. 
Première démonstration. — Désignons par a, b, c, p les 
abscisses des points A, B, C, P; tout revient à établir l’égalité 
(a — p) 2 (c — b) H- (b — p) 2 (a — c) + (c — p) 2 (b — a) 
A- (c — b) (a — c) ( b — a) — 0. 
Le coefficient de p 2 est 
(c — b)(a — c)-+- (b — a) ; 
il est nul. 
Le coefficient de p est 
— 2a(c — b) — 2 b(a — c) — 2 c(b — a) ; 
il est également nul. 
Le terme indépendant de p est 
a 2 (c — b) + b 2 (a — c) A- c 2 (b — a) A-- (c — b) (a — c) (b — a) ; 
pour établir que cette quantité est nulle, nous l’ordonnons par 
rapport à a, et nous montrons que les coefficients de a-, de a, 
et le terme indépendant de a sont nuis.