VECTEURS 
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Nous pouvons écrire ce polynôme sous la l'orme 
n 2 (c -- b) + b 2 (a — c) + c 2 (b — a) H- (c — b) [ — a 2 -H à (b H- c) — 6c]. 
Le coefficient de a 2 est c — b — (c — b) ; il est nul. 
Le coefficient de a est 
b 2 — c 2 + (c — b) (b -t- c), 
également nul. 
Enfin, le terme indépendant de a est 
— b 2 c H- bc 2 — bc[c — b) ; 
il est nul. 
Donc la relation est établie. 
Deuxième démonstration. — En élevant au carré la relation 
PA = PC H- CA, nous obtenons 
PÂ 2 = PC 2 + 2 PC. CA + CÂ 2 , 
et nous avons de même, en remplaçant A par B, 
PB 2 = PC 2 -i- 2 PC. CB + CB 2 . 
Multiplions la première égalité par BC, la seconde par CÂ, 
et ajoutons membre à membre ; nous obtenons 
PA 2 . BC + PB 2 . CA = PC 2 (BC-t- CÂ) + 2PC(CA . BC + CB . CÂ) 
+ CÂ 2 .BC + CB 2 .CÂ. 
Dans le second membre, le coefficient de PC 2 est BC + CÂ 
ou BA; celui de 2PC peut s’écrire CÂ(BC-i-CB), il est nul. 
Enfin le terme indépendant de PC est 
ou 
ou enfin 
CÂ 2 .BC + BC 2 .CÂ, 
CÂ.BC (CÂ+ BC), 
CÂ.BC.BÂ. 
On a donc 
PÂ 2 . BC + PB 2 . CÂ = P C 2 , BÂ + CÂ. BC. BÂ, 
PA 2 .BC + PB 2 .CA + PC 2 .AB + BC.CA.AB = 0. 
Troisième démonstration. — Elle est analogue à la troisième 
démonstration que nous avons donnée de la formule d’Euler. 
Posons 
/(p) = pâ 2 . Bc + pb 2 . câ + Pë 2 âb'+ bc . câ .âb , 
/(P') ■= FÂ 2 . BC + PTi 2 . CÂ + P'C 2 . ÂB + BC. CÂ. ÂB,