24 VECTEURS 
et retranchons la seconde égalité de la première. Nous avons 
/(P)-/(P')=(FA 2 —FÂ 2 )FC+(PB 2 — P'F 2 )CAh-(FC 2 — FC 2 ) AIT 
Or, on a 
Mais 
PA 2 - FÂ 2 = (PA — P'A) (PA + P'A). 
PÂ — Fa = FA + AP' == PP' ; 
d’autre part, O désignant le milieu de PP', on a 
PA + P'A = 2 OA, 
car si l’on prend A comme origine des abscisses, on a établi (9) 
la formule 
âo= ap + ap '- 
On peut donc écrire 
PA 2 —FA 2 = 2 PF. OA, 
et de même 
FF 2 —FTP = 2 FF. OB, 
PC 2 —FC 2 = 2 FP 7 . OC. 
La différence /(P) — /(P') prend alors la forme 
/(P) —/(P') = 2FF [OA. BC + OB.CA + OC. AB] ; 
mais la quantité entre crochets est nulle, d'après la relation 
d’Euler; on a donc 
/(P)=/(P'), 
ce qui montre que /(P) a une valeur constante. 
Plaçons maintenant le point P au point A, nous avons 
/(A) = AB 2 . CA -+- AC 2 . AP + BC. CA. AF, 
ou, en mettant AB.CA en facteur, 
/(A) = AF. CA [ÂB + CA + BC] = o. 
Donc /(P) est nul, quelle que soit la position du point P. 
Les relations précédentes sont des cas particuliers de relations 
plus générales que nous allons établir. 
Elles ont été données par Chasles dans sa Géométrie supérieure, 
chapitre xvi. 
32. On donne n points A, B, C, D, ... H, L et n — 1 points M, N, 
P, ... U, V, situés tous sur un même axe orienté; établir la relation 
AM.AN.AP. . .AU.AV , FM.BN.Fp. . .FU.BV 
+ 
I) 
AB.AC.AD. . .AH.AL 
CM.CN.CP ... CTLCV , 
CD ... CH . CL. CA. CB " 
BC.BD. . .BH.BL.BA 
, LM.LN.LP .. . LÜ.LV 
LA.LB.LC. .LH