VECTEURS 
25 
Remarquons d’abord que cette relation est vraie pour/1 = 2, 
c’est-à-dire pour deux points A, B et un point M. En effet, dans 
ce cas particulier, l'égalité (1) devient 
AM BM_ d 
AB H BA 
Or le premier membre peut s’écrire successivement 
AM [ MB 
AB + AB 
ou 
AM-f-MB 
AB 
ou enfin 
AB. 
âb’ 
et ceci est égal à 1. 
Nous allons supposer que la relation est vraie pour n—1 
points A, B, ... et pour n — 2 points M, N, ..., et nous démon 
trerons qu’elle est encore vraie pour n points A, B, ... et n — 1 
points M, N, .... 
Admettons pour un instant que l’égalité (1) ne soit pas vraie 
quels que soient les points A, B, ..., M. N, ...; nous allons 
chercher à déterminer le point V (les autres points étant 
donnés) de façon que la relation soit vérifiée. Pour cela, dési 
gnons par x l’abscisse inconnue du point V, et par a, b, ..., 
celles des points x\, B, .... Nous remplaçons dans (1) AV, BV, ... 
par x — a, x — b, ... et nous obtenons une équation du pre 
mier degré par rapport à x, qui admet en général une seule 
racine. Donc, si la relation (1) n’est pas vraie, il existe un seul 
point V pour lequel elle est vérifiée. 
Plaçons le point V au point L et examinons ce que devient la 
relation (1). Dans le premier rapport on peut diviser haut et bas 
par AL, dans le deuxième par BL, ... et le dernier s’annule. La 
relation (1) se transforme alors en une relation analogue, rela 
tive aux n — i points A, B, ..., H et aux n — 2 points M, N, ..., U. 
Or, par hypothèse, cette relation est vraie; on en conclut que la 
relation (1) est vérifiée si le point V coïncide avec le point L. 
On démontrerait d’une manière analogue que la relation (1) est 
également vraie quand le point V coïncide avec chacun des 
points A, B, ..., H. 
Or nous avons vu tout à l’heure que si la relation (1) n’est pas 
vraie pour toutes les positions des points A, B, ..., M, N, 
elle ne peut être vérifiée que pour un seul point V. 
Il en résulte bien que la relation (1) est vraie pour toutes les 
positions des points A, B, ..., M, N .... 
Ainsi, pour n = 3, on a 
AM. AN BM.BN ÜM.Crr ==1 . 
AB.AC + BC.BA + CA.CB “ ’