VECTEURS 
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Dans cette nouvelle égalité, on peut diviser les deux membres 
par AU, et supposer que le point U s’éloigne indéfiniment; on 
obtient alors la relation (2) pour n — 3 points M, N, ..et ainsi 
de suite. 
En particulier, en supposant que tous les points M, N, P, ... 
soient à l’infini, on a la relation 
_ ^ i _ 1 +== . 
AB. AC. AD . . . AH. AL BC.BD.. . BL. BA CD ... CL. CA. CB 
LA. LB.LC ... LU 
relative à n points arbitraires A, B, C, ..., H, L. 
Appliquons la relation (2) à trois points A, B, C et à un point M, 
nous avons 
AM BM CM _ 0 
AB.AC BC.BA CA.CB“ ’ 
ou, en multipliant par BC.CA.AB, 
AM.BC + BM.CA+CM.AB = 0, 
ou 
MA. BC + MB. CA + MC. AB — 0 ; 
c’est la relation d’Euler. 
34. Montrer que la relation de Stewart 
PA 2 .BC + PB 2 .CA-+-PC 2 .AB+BC.CA.AB = 0 
est encore vraie si le point P n'est pas situé sur Taxe orienté ABC. 
Première démonstration. — Soit Q la projection du point P 
sur l’axe ; on a 
pa 2 = PQ 2 + QA 2 , Pb 2 = PQ 2 + QB 2 , pc 2 = pq 2 + qc 2 , 
et la relation de Stewart peut alors s’écrire 
(PQ 2 + QÄ 2 ) BC + (PQ 2 + QB 2 ) CA + (PQ 2 + QC 2 ) AB 
+ BC.CA.AB = 0. 
Le coefficient de PQ 2 est BC + CA + AB, il est nul; le terme 
indépendant de PQ 2 est 
QA 2 . BÜ + QB 2 • CA + QC 2 . AB + BC. CA. AB. 
Cette quantité est nulle, puisque le point Q est sur l’axe. 
On en conclut que la relation de Stewart est vérifiée pour un 
point quelconque P du plan.