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VECTEURS 
Deuxième démonstration. Dans le triangle PAG on a (22) 
PA 2 = PC 2 -h CA 2 - 2 CA. CQ, 
et, dans le triangle PBC, 
P 
Éliminons CQ entre ces deux 
égalités; pour cela, nous multi 
plions la première par BC, la 
deuxième par CA et nous ajoutons 
membre à membre. Nous obtenons 
B Q 
A 
PA 2 . BC + PB 2 . CA = PC 2 (BC CA) -+- CÀ - . BC -f- CB 2 . CA. 
Dans le second membre, le coefficient de PC 2 est égal à BA ou 
— AB; d’autre part, on peut écrire 
CA 2 . BC + CB 2 . CA = ÜA 2 . BC h- BC 2 . CA 
= CA. BC (CA -h BC) = CA. BC. B A 
= — BC.CA.AB. 
La relation précédente devient donc 
PA 2 . FC -h PB 2 . CA = — PC 5 . AB — BC. (TA. A B, 
ou 
PA 2 . BC 4- PB 2 .CA + PC 2 .AB + BC. CA. AB = 0. 
35. On donne trois points A, B. C sur un axe orienté et un cercle : 
on désigne par a, ¡3, y les paissances des points A, B, C par rapport 
an cercle. Démontrer l'égalité 
a. BC + p.CA H- y .AB 4- bc.ca.Ab = 0. 
Soit O le centre du cercle et R son rayon; nous avons (23) 
oc = OA 2 — R 3 , p = OB 2 — R 2 , y = OC 2 — R 2 . 
La relation à établir s’écrit alors 
(OA 2 — R 2 )BC + (OB 2 — R 2 )CA + (OC 2 — R 2 ) AB + BC. CA. AB = 0. 
Le coefficient de —R 2 est BC + CA H- AB, il est nul (5); 1 
terme indépendant de R 2 est 
OA 2 . BC + OB 2 . CA + OC 2 . AB + BC. C A. AB ; 
il est également nul, d’après la formule de Stewart. 
La relation proposée est donc établie.