VECTEURS 
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36. On donne trois points A, B, C sur un axe orienté, un cercle et 
un point O sur ce cercle. On joint le point O aux points A, B, C; les 
droites obtenues OA, OB, OC rencontrent le cercle en de nouveaux 
points A', B', C'. Établir la relation 
BC.ÔÂ.ÔÂ 7 + CÂ.ÔB .OB' + AB .OC. OC' == 0. 
On peut remarquer que 
le signe du produit OA.OA' est indé 
pendant du sens positif choisi sur 
la droite OAA'; même observation 
pour les signes de OB.OB' et 
OC.OC 7 . 
La puissance du point A par 
rapport au cercle est AO.AA'; de 
même, les puissances des points B, 
C sont BÔ.BB' et CÔ.CC 7 . D’après 
le théorème précédent on a 
AO. ÂÂ'. BC + BO. BB 7 . CÂ 
+ CO.CC'.AB + BC. CA. AB =0. 
D’autre part, appliquons la relation de Stewart aux points 
A, B, C, O; nous avons 
AO 2 . BC + BO 2 . CÂ + CO 2 .ÂB -+- BC. CA. AB = 0. 
Betranchons cette égalité de la précédente, nous obtenons 
ÂÜ. BC (ÂÂ'— ÂO) + BO. CÂ (BB'— BÜ) + CO. ÂB (CC 7 —CO) = 0. 
Or ÂÂ 7 — ÂÔ — ÔÂ + ÂÂ 7 = OÂ 7 ; 
et de même 
BB 7 — BÔ=ÔB 7 , CC 7 —CÔ = ÜC 7 . 
On a donc 
ÂO.BC .ÔÂ 7 + BÜ.CÂ.OF + CÜ .ÂB. OC'= 0, 
ou, en remplaçant AO par — OA, BO par — OB,. .., etc., 
BC. ÔÂ. ÜÂ 7 + CÂ. ÔB. ÔB 7 -f- ÂB. OC. ÔC 7 = 0. 
Applications de la relation de Stewart. 
37. On donne un triangle ABC ayant pour côtés BC = a,CA = b, 
AB = c; on prend sur le côté BC un point D, défini par la relation 
k désignant un nombre arbitraire différent de l'unité. 
Calculer la longueur AD en fonction de a, b, c, k.