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VECTEURS 
Applications. — Calculer les longueurs des médianes et des bissec 
trices d’un triangle en fonction des côtés. 
Prenons sur le côté BCun sens positif arbitraire, et appliquons 
la relation de Stewart aux trois points B, G, D situés sur l’axe 
ainsi obtenu, et au point A situé en dehors. 
Nous avons 
Alt-.BC + AB 2 .CD + AC 2 .PB -+- BC. CD. DR = 0. 
De l’égalité == k nous tirons 
PB DÛ __DC — PB BC 
k 1 1 — k 1 — k’ 
puis 
PB 
1 — k' 
CP 
•1 — k 
Remplaçons DB et CP par ces valeurs dans la relation de Ste 
wart, nous obtenons 
AD 2 . BC - AB 2 . + AC 2 . £aBC _ fc.BC» 
1 — k 1 — k (1 — k) 2 
0. 
Divisons maintenant par BC, et remplaçons BC 2 , AC 2 , AB‘ 
respectivement par a 2 , b 2 , c 2 ; nous avons 
AD ? 
Arò 2 
ka 2 
ou enfin 
(1) 
k ' 1 — k (1 — k) 2 
0, 
ka- c 2 
(1 =DcT 2 + ~ 
AP 2 = 
kb 2 
Le problème est résolu. 
Remarque. — Pour que cette relation permette de calculer AP, 
il faut que le second membre soit positif. Il est aisé de voir que 
cela a toujours lieu. En effet, on peut écrire ce second membre 
ka 2 
kb 2 ){ 1 — k) 
(1 — k) 2 ’ 
ou, en ordonnant le numérateur par rapporté k, 
k 2 b 2 -f-k(a 2 — b 2 — c 2 ) -f- c 2 
(1 — k) 2 ' 
Le numérateur est un trinôme du deuxième degré par rapport 
à /î, dont le discriminant est 
(a 2 — b 2 — c 2 ) 2 — 46 2 c 2 .