40. On donne deux points A, B dans un plan, et on demande le lieu 
géométrique des points M de ce plan tels que Гоп ait 
(1) a. MA 2 -f- ^. MB 2 = k, 
a, ¡3, к étant des nombres donnés. 
Dans le cas particulier où a+ [3 — 0, on est ramené au lieu 
des points dont la différence des carrés des distances aux 
points A, B est constante. On sait que ce lieu est une droite 
perpendiculaire à AB. 
Nous écarterons ce cas particulier et nous supposerons a+[3^0. 
Nous allons montrer que le lieu est un cercle ayant pour 
centre un point de la droite AB. 
Prenons sur AB un point quelconque I et appliquons la 
relation de Stewart aux points A, В, I et à un point quel 
conque M du plan; nous avons 
(2) ЖА 2 .Шн-мв 2 .1а+м! 2 .ав + Ш.!а.аб = о. 
On peut choisir le point I de façon que l’on ait 
Comme a 4- ¡3 n’est pas nul, — ^ n’est pas égal à 1, et cette 
égalité définit le point I sur la droite AB (10). 
On peut alors écrire 
Bl Ta BT-t-Ta BA _ AB 
VECTEURS 
34 
et par suite 
\n= 
puisque J. —K 2 . 
D’autre part, 
QÂ = QC H- CA = s/ф + a = v'a(v^3 + Va), 
QB = QC + CB = v'aP + P tt= S (Va + V^)> 
2è=i/*=r*. 
QB V B 
Nous retrouvons la construction bien connue de la geo 
metrie élémentaire.