APPLICATIONS DE LA RELATION DE STEWART 
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Remplaçons RI et IA par ces valeurs dans l’égalité (2), nous 
obtenons 
ocMA 2 + p MB 2 = (a + p)Ml 2 + “jfpÂÏÏ 2 , 
et cette égalité a lieu quel que soit le point M. 
La relation (1) peut alors s’écrire 
(a + (3) MT 2 + AB 2 = k, 
ou 
vft2 /c(a H- P) — a P AB 2 
MI =— 
et ceci montre que la longueur MI est constante. 
Par suite, le lieu du point M est le cercle T qui a pour centre 
le point I et dont le rayon R est donné par la formule 
/¿(a + P) — apAB 2 
(a + p) 2 
Pour que ce lieu existe, il faut que la valeur de R- soit positive, 
c’est-à-dire que l’on ait 
k(a + P) — aPAB 2 > 0. 
Dans le cas particulier où l’on a 
k (a -J- p) — a P AB 2 — 0, 
le lieu se réduit au point 1. 
Remarque. — Supposons maintenant que le point M se déplace 
dans l’espace. 
Si a + p=0, le lieu du point M est un plan perpendiculaire 
à AB. 
Si a + p 9== 0, le lieu est une sphère qui a pour centre le 
point I et pour rayon celui du cercle T. 
41. On donne trois points A, B, C dans un plan et on demande le lieu 
géométrique des points M de ce plan pour lesquels on a 
(1 ) aMA 2 + P MB 2 + T MC 2 = k, 
a, p, y, k étant des nombres donnés. 
Supposons d’abord a + p^O. Nous prenons le point I sur AB 
comme dans le problème précédent, défini par l’égalité