PERPENDICULAIRES CONCOURANTES VUX CÔTÉS DUN TRIANGLE 41 
1° La condition est nécessaire. Supposons que les perpendicu 
laires se rencontrent au point P; joignons ce point aux sommets 
du triangle. Les triangles rectangles BP a, CP a nous donnent 
FY = FF 2 —Foc 2 , 
Coc 2 = CP' 2 - Foc 2 , 
et, en retranchant membre à membre, 
nous obtenons 
Fa 2 — Ca 2 = BP 2 — CP 2 . 
Nous avons de même 
Cp 2 — Âp 2 = CP 2 — AP 2 , 
_ g-2 — AP 2 — FP 2 . 
Ajoutons membre à membre ces trois égalités, nous obte 
nons la relation (1). 
2° La condition est suffisante. Supposons qu’on ait la relation (1), 
nous allons montrer que les trois perpendiculaires sont concou 
rantes. 
En effet, soit P le point de rencontre des deux premières, 
c’est-à-dire de celles qui passent par a et du point P nous 
menons Py' perpendiculaire sur AB, et nous allons démontrer 
que y' coïncide avec y. 
Les perpendiculaires menées aux côtés du triangle par les 
points oc, p, y' étant concourantes, nous avons, d’après la pre 
mière partie du théorème, 
Foc 2 — Coc 2 + Cp 2 — Ap 2 + AY 2 — Ff 2 = 0 ; 
et comme nous avons aussi la relation (1), nous en déduisons 
A y' 2 — B y' 2 — A y 2 — B y 2 , 
on 
(Aÿ' — Fy 7 ) (ÂY + F?) == (Aï — By) (Ay + B y). 
Or 
A y' — B y' — Ay’ -|- y' B = AB, 
A y' -t- B y' = AB -f- B y' H- B y' — AB -+- 2B y', 
et 
Âÿ — Fy = ÂF, 
A y -f- Fy = AB + 2By. 
On a donc 
AB (AF + 2F7) = AB (AF + 2ÏÏŸ), 
ou B y = B y', ce qui montre bien que y et y' coïncident. 
A