PERPENDICULAIRES CONCOURANTES AUX CÔTÉS D’UN TRIANGLE 45 
Puisque les perpendiculaires A a, B fi, Cy sont concourantes, 
on a 
(1) B'a 2 — C'a 2 + C'[ü 2 — A fi 2 + Ay 2 — Ü'y 2 == 0. 
Pour démontrer que les perpendiculaires A'a', B'(3', C'y' sont 
aussi concourantes, il faut 
C 
établir l’égalité 
(2) lia 2 — Ca' 2 + C(3' 2 
- W* + Ay i2 — Cy' 2 = 0. 
On montrera aisément, 
en raisonnant comme aux 
numéros précédents, que 
le premier membre de (1) 
est égal à l’expression 
FA 2 _ (YX 2 + FF 
— Ad! 2 + Â7C 2 — FC 2 
et que le premier membre de (2) est égal à cette même 
expression changée de signe. 
51. Soient AA', BB', CC' les hauteurs du triangle ABC; par les 
milieux a', (3', y' de B'C', C'A', A'B', on abaisse les perpendicu 
laires a'a, p'(î, y'y sur les cotés BC, CA, AB du triangle. Démontrer 
que ces perpendiculaires passent par un même point. 
Soient Bj, C t les projections de B', C' sur BC; puisque a' 
est le milieu de B'C', a est le milieu 
A de BFi- 
On peut écrire 
( 1 ) B a 2 — C a 2 = (B a — C a) (B a+G a). 
Or 
B a —■ C a = B a + a C = BC ; 
d'autre part, on a 
B a = BC t + Ci a, 
C a = C B | -j- B i a, 
et, en ajoutant, 
(2) B« -p C a = BCj + CB lt 
car C, a + Ih a est nul, a étant le milieu de B t C t .