PERPENDICULAIRES CONCOURANTES AUX CÔTÉS D’UN TRIANGLE 47 
On peut écrire 
B a 2 — Ca 2 = (Ba + Ca)(Ba — G a) ; 
or, 
B a — C a — B a + aC = BC, 
et 
Ba+Ca = — (a B + aC) = — 2 a a, 
d’après la formule du n° 9, 
ou 
B# + Ca = 2aa. 
On en déduit 
B a 2 — C a 2 = 2 a a. BC, 
et de même 
Cp 2 — Ap 2 = 26p.CÂ, 
A y 2 — By 2 = 2cy .AB. 
En remplaçant dans la relation (1) du n° 43 les différences 
B^ 2 — Câ 2 , Cp 2 — Âp 2 , Ây 2 —By 2 
par les valeurs précédentes, nous obtenons 
(2) a a. BC -+- 6(3. CA + cy. AB = 0. 
C’est la condition nécessaire et suffisante pour que les per 
pendiculaires menées par les points a, [3, y aux côtés BC, CA, AB 
respectivement soient concourantes. 
53. On donne un triangle ABC et un point F dans son plan; par ce 
point on abaisse les perpendiculaires Fa, Fp, F y sur les côtés 
BC, CA, AB respectivement. On trace le cercle passant par les points 
a, p, y et on désigne par a', P', y' les deuxièmes points de rencontre du 
cercle avec les côtés BC, CA, AB. 
Démontrer que les perpendiculaires menées par les points a', p', y' 
aux côtés correspondants sont concourantes. 
Première démonstration. — Puisque les perpendiculaires 
menées par les points a, P, y aux côtés du triangle sont concou 
rantes, nous avons la relation (2) établie au n° précédent, 
(2) aa.BÜH-bp.CA-f-ay .AB = 0, 
a, 6, c étant les milieux des côtés BC, CA, AB. 
Pour établir que les perpendiculaires en a', P', y' aux mêmes 
côtés sont concourantes, il suffira de montrer que l’on a 
(2)' ôôCBC-l- bp'.CÂcy'.AB = 0.