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TRANSVERSALES 
32. Symédianes. — Si A a est la médiane, la droite A a', symé 
trique de A a par rapport à la bissectrice intérieure AI de 
l’angle A, a été appelée symédiane par M. Maurice d’Ocagne. Il 
résulte de ce qui précède que dans un triangle, les symédianes sont 
concourantes. 
Calcul des symédianes en fonction des côtés. — Si a est le milieu 
de BG, la formule (1) du n° 31 donne 
ôTB __ & 
oc' C b 2 
Nous aurons donc la longueur s a = A«' de la symédiane en 
c 2 
remplaçant h par — p dans la formule (1) du n° 37 du tome I; 
nous obtenons 
a a 2 b 2 c 2 2 b 2 c 2 
*A — — (F 4. r 2 ; i! + b 2 + c 2 ’ 
ou 
b 2 c 2 [2(b 2 H- c 2 ) — a 2 ] 
S A~ (b 2 + C 2 ) 2 ’ 
et, par permutation circulaire, 
2 c 2 « 2 [2(c 2 -1- a 2 ) — 6 2 ] 
s,i ~ ’ 
2 a 2 b 2 [2 (a 2 -h b 2 ) — c 2 ] 
S(: ~ a 2 + b 2 
33. Le rapport des distances de tout point de la symédiane relative 
au sommet A aux côtés AB, AC du triangle est égal au rapport de ces 
côtés. 
Soit A a la symédiane du point A; il suffit de démontrer le 
théorème pour le point a. 
Abaissons «D, aE perpendiculaires 
respectivement sur AB, AC. Les deux 
triangles AB a, AC a ont même hau 
teur, celle qui passe par le point A; 
donc le rapport de leurs aires est égal 
au rapport des bases, et l’on a 
AB x a D aB 
AC x a E a C 
Mais nous savons (32) que 
, a B AB 2 .