TRANSVERSALES 
31 
sur un cercle qui a pour centre w. Ce cercle coïncide avec le 
précédent, puisqu’il a même centre oj, et même rayon wD. 
Il en résulte bien que les six points D, D', E, E', F, F' sont sur 
un même cercle qui a pour centre le point w. 
37. 1° Si le point O est à l’infini, ou, en d’autres termes, si AO, BO, 
CO sont parallèles, le point inverse O' est sur le cercle circonscrit au 
triangle ABC. 
2° Réciproquement, si le point O' est sur le cercle circonscrit au 
triangle ABC, le point O est ci l’infini. 
Déterminons le point O' par les droites AO', BO', symé 
triques de AO, BO par rapport aux 
0 / ^ bissectrices des angles A, B respec 
tivement. Nous avons 
( (AO',AC) = -{AO, AB), 
[ ’ ) (BO', BC) = — (BO, AB). 
Comme AO est parallèle à BO, 
les seconds membres sont égaux et 
l’on a 
(2) (AO', AC) = (BO', BC), 
ce qui montre que les points A, B, C, O' sont sur un cercle (I, 63). 
2° Réciproquement, si les points A, B, C, O' sont sur un 
cercle, on a l’égalité (2) ; on déduit alors des égalités (1) la 
relation 
(AO, AB) = (BO, AB), 
et ceci montre que AO et BO sont parallèles. 
38. Une transversale rencontre les cotés BC, CA, AB d'un triangle 
aux points a, fi, y. On joint les sommets A, B, C respectivement aux 
centres a, b, c des cercles circonscrits aux triangles AfJy, B y a, Cafi. 
Démontrer que les droites A a, Bb, Ce passent par un même point I, 
qui est situé sur le cercle circonscrit au triangle ABC. 
La droite Aa et la hauteur AA t du triangle AfJy sont symé 
triques par rapport à la bissectrice de l’angle A du triangle AfSy, 
ou de l’angle A du triangle ABC (33). De même, Bb et la 
hauteur BB 1 du triangle Bya sont symétriques par rapporta 
l’angle B du triangle ABC; enfin, Ce et la hauteur CCi du 
triangle C a ^ sont symétriques par rapport à la bissectrice de 
l’angle C du triangle ABC.