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TRANSVERSALES 
Comme les droites AA 1? BB t , CCi sont parallèles, les droites 
Aa, B b, Ce passent par un 
même point 1, qui est l’in 
verse du point à l’infini dans 
la direction perpendiculaire 
à a(3y, et ce point inverse 
(37) est sur le cercle circons 
crit au triangle ABC. 
39. Remarque. — On peut 
encore établir les propriétés 
des points inverses par rap 
port à un triangle en s'ap 
puyant sur les propriétés des 
coniques. 
On sait que dans une ellipse ou dans une hyperbole, les 
symétriques d'un foyer O par rapport aux tangentes sont situés 
sur un cercle qui a pour centre l’autre foyer 0' et pour rayon 
la longueur 2a de l’axe focal. 
On conclut de là qu’il existe en général une conique et une 
seule ayant pour foyer un point donné 0 et tangente aux côtés 
d’un triangle ABC. Pour la déterminer, on prend les symé 
triques a, p, y du point O par rapport aux côtés BC, CA, AB du 
triangle et on considère le cercle passant par les points a, [i, y. 
Le centre 0' de ce cercle est le deuxième foyer de la conique, et 
le rayon est égal à la longueur de l’axe focal. 
Comme les droites AB, AC sont tangentes à la conique, les 
droites AO, AO' sont symétriques par rapport à la bissectrice 
de l’angle A, d’après le théorème de Poncelet; de même BO, BO' 
sont symétriques par rapport à l’angle B, .... 
Par suite, O, 0' sont deux points inverses par rapport au 
triangle ABC. 
On voit ainsi qu’à tout point O du plan correspond un seul 
point O', qui est le second foyer de la conique tangente aux 
trois côtés du triangle et dont le premier foyer est le point O. 
Les projections des points 0, O' sur les côtés du triangle sont 
sur le cercle qui a pour diamètre l’axe focal. 
40. Cas particulier. — Si les points a, ¡3, y sont en ligne droite, 
il existe une parabole ayant pour foyer le point O et pour 
directrice la droite oc{Jy, et cette courbe est tangente aux côtés 
du triangle ABC. Le point inverse du point 0 est à l’infini dans 
la direction perpendiculaire à a[3y, car les symétriques des