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TRANSVERSALES 
Mais nous avons démontré (13, 42) que les ensembles de trois 
points (D, E, F'), (D, E', F), (I)', E, F), (D', E', F') sont en ligne 
droite; ces quatre droites forment un quadrilatère complet 
dont les diagonales sont DD', EE', FF'. Les milieux M, N, P de 
ces diagonales sont en ligne droite (23). 
42. On donne un triangle ABC et un cercle dont le centre 0 est 
équidistant des points A et B. Ce cercle rencontre le coté BC aux 
points A t , A 2 et le côté CA aux points B t , B 2 ; les droites A^lj 
et АЛС coupent le côté AB aux points C 1? C 2 . 
Démontrer que les points C 15 C 2 sont symé 
triques par rapport au milieu de AB. 
il faut démontrer que Гоп a (I, 14) 
C<A _ C 2 B 
QB~C¡X’ 
Appliquons le théorème de Ménélaüs 
2 
au triangle ABC coupé par les transver 
sales AJ^Ci et A,B 2 C 2 ; nous avons 
AjB B,C C i A =1 
rVj JD 1) ! I a V ^ 
A t C B 1 A C,B 
A 2 B b 2 c c 2 a 
et, en multipliant membre à membre, 
B A,. BA 2 CB a .CB, C X A < ,, \ 
ABj.ATL CAí.C^'CíB' CoB 
(1) 
Or 
CBj. CB 2 = CAj. CA 2 , 
puisque les deux membres sont égaux à la puissance du point C 
par rapport au cercle. D’autre part, comme les points A, B sont 
équidistants du centre O, leurs puissances sont égales et l’on a 
ABj. AB 2 = BAj. BA 2 . 
L’égalité (1) nous donne alors 
CiA C 2 A . 
1 
ou 
Ci A C 2 B 
cjí ” ¿3’ 
et ceci démontre la proposition.