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TRANSVERSALES 
49. On joint les sommets A, B, C cTun triangle à un point O quel 
conque; les droites obtenues rencontrent les cotés opposés aux points 
a, p, y. Le cercle qui passe par les trois points a, (3, y rencontre les 
cotés BC, CA, AB du triangle en d’autres points a', ¡3', y'. Démontrer 
que les droites A a', B (3', Gy' soni concourantes. 
Puisque les droites A a, B[3,Cy passent par un même point, on a 
À 
a C p A y B 
D’autre part, en égalant deux 
expressions de la puissance du 
point A par rapport au cercle, on a 
A(3.A[3' = Ay.Ay', 
P 
^ et, de même 
By. B y' = B a. B a' 
C a. Ca' — Cf3.C[3'. 
Multiplions ces trois égalités membre à membre, et tenons 
compte de la relation (1); nous obtenons 
oc'B (3'C y'A 
a'C (3'A y'B 
ce qui démontre la proposition. 
50. Soit un trièdre défini par les trois demi-droites SA, SB, SC; un 
plan quelconque P passant par le point S rencontre les plans SBC, SCA, 
SAB suivant les droites Sa, S(3, Sy respectivement. Désignons par Sa', 
S[3', S y' les symétriques de Sa, S ¡3, Sy respectivement par rapport 
aux bissectrices des angles BSC, CSA, 
ASB. Démontrer que les droites S a', S[3', 
S y' sont dans un même plan. 
C 
Prenons sur les arêtes du trièdre 
les points A, B, C tels que 
SA = SB = SC, 
et supposons que les points a, a' sont 
sur BC, (3, (3' sur GA, y, y' sur AB. 
B 
Le triangle SBC étant isocèle, les 
points a, a' sont, symétriques par rapport au milieu de BC, et l’on a 
a'B = — aC, a'C == — a B,