TRANSVERSALES 
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60. On considère un triangle ABC, rectangle en A; on désigne par 
(a, p, y) tes points de contact du cercle inscrit avec les côlés BC, CA, 
AB respectivement, par (oq, p t , Yi) tes points de contact du cercle 
exinscrit dans l’angte A avec les mêmes côtés, et enfui par [a.,, p 2 , Y2) 
(a ;{ , p 3 , Y3) tes points de contact des cercles exinscrits dans les 
angles B el C. 
Démontrer que les groupes de trois points (a, p ;J , y)> ( a > T2); 
(a 3 > P, Tj), («2» Pi» y), (a 2 , Pu y 2 ), ( a ;o Pa» Ti)> (*i> Pi» ïi)> ( a n Pi» Ta) 
soni en ligne droite. 
Si nous posons BC = a, CA == b, AB = c, a 4- b -4- c = 2p, nous 
avons, dans un triangle quelconque, 
a B p - 
-b 
pc 
p — c 
y A 
p — a 
aC p - 
- C 
PA 
p — a 
ÿB 
p —b’ 
oc, B p - 
- c 
p,c 
p -— b 
y t A 
P 
ôqC p - 
- b 
PiA 
P 
Ti B 
P — c’ 
a 2 B p 
p 2 (i 
p — a 
y,A _ 
p — c 
a 2 C p — a 
pa 
P — c 
y, B 
P 
a ;1 B p — a 
ÍA.C 
P 
ïvV 
P —b 
a 3 C p 
P3A 
P — b 
y 3 B 
p — a 
On en déduit 
a b 
! p 3 C 
TÂ .. 
p{p — a) 
a (. 
; p¡X 
Y B 
(P —b) (p- 
-c) 
a h 
: PC 
y 2 A 
(p — b) {p - 
- c) 
a( 
; pA 
y 2 B 
p(p — a) 
et en faisant les 
trois points, on 
a p[p — a) 
mêmes produits pour les autres groupes de 
vérifie que tous ces produits sont égaux soit 
q (P b)(p c) 
Par suite, pour établir la proposition, il suffit de montrer que 
l’on a 
P{p — a) = {p~b){p — c), 
ou 
(îz —f— b H— c) (b —|— c — il) ——- (il —f- c — 0) (u —|— b — c), 
ou encore 
(b -h c) 2 — a 2 = a 2 —* [b — c) 2 , 
ou enfin 
a 2 = 6 2 -f- c-, 
ce qui est vrai, puisque le triangle est rectangle en A.