TRANSVERSALES 
et, en faisant le produit, 
aB p C y A aBt.bGa.cA3 
51 
aC pA y B aCi.bA2.cB3 
Mais les segments de droite aB t et cB 3 sont symétriques par 
rapport à la bissectrice de l’angle B; donc aB 1 = cB 3 , et, pour 
une raison analogue, 5C 2 — aC 1 , cA 3 — 5A 2 . Par suite, le second 
membre de la dernière égalité est égal à 1 ; il en est de même 
du premier(*). 
2° Si le triangle ABC n'a pas d’angle obtus, les trois rap- 
oc I > (' V /Y 
ports — > CA sont visiblement négatifs. 
aC pA y B & 
Mais, supposons que l'angle C soit obtus, et prenons les 
points H, K où OE, CD rencontrent 
respectivement BC, AC; les segments 
E1I, DK sont égaux, comme étant 
symétriques par rapport à la bissec 
trice de l’angle C. 
Dans tous les cas, le point y est tou 
jours situé entre A et B, et le rapport 
1 
1 
B 
Di / 
1 / 
1 / 
est négatif. D'autre part, si la Ion 
rieure à EH ou DK, les rapports = et E£ sont tous deux néga- 
aC p A 
tifs; mais si cette longueur commune est supérieure à EH 
ou DK, ces deux rapports sont positifs. 
On voit donc que le produit est toujours négatif; 
— 1, et le théorème est démontré. 
Puisque les droites A a, Bp, Cy passent par un même point O, 
les deux triangles ABC, <xPy sont homologiques (24), et, par