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TRANSVERSALES 
cercle les tangentes Aa, Bp, Gy qui rencontrent respectivement en a, 
(3, y les côtés opposés à ces sommets. On demande de prouver que 
ces trois points sont en ligne droite. 
Nous allons calculer le rapport ^ en fonction des côtés 
oc G 
a, b, c du triangle PQR (a = QR, b — RP, c= PQ). La tangente A a 
rencontre le côté PR au point D, et nous désignons par a', b', c' 
les côtés du triangle RAD 
D 
Les deux triangles BD a et 
CA a sont semblables et don 
nent (dans le cas de la figure) 
a B BD 
a G CA 
Or BD = RD — BR = GA = |, et par suite 
a B b — 2b' 
(1) 
Désignons par E le point de contact du cercle et du côté QR. 
Nous avons dans le triangle PQR 
et dans le triangle DRA, 
a' -+- b' - c' 
On a donc 
a' + b' — c' = a + 6 — c. 
D’autre part, comme les triangles PQR et DRA sont cir 
conscrits à un même cercle, leurs aires sont proportionnelles 
à leurs périmètres, et comme ces triangles ont un angle 
commun R, leurs aires sont entre elles comme les produits des 
côtés qui comprennent cet angle. On en déduit l’égalité 
a' + b' + c' a! b’ 
a + fc + c a6 ’