GÉNÉRALISATIONS DU THÉORÈME DE MÉNÉLAUS 79 
Multiplions ces deux égalités membre à membre, nous obte 
nons l’égalité (1), et le théorème est démontré. 
88. Réciproque. — On donne un quadrilatère gauche et un 
plan P. Démontrer que les plans menés par chacun des côtes du qua 
drilatère et par le point de rencontre du plan P et du côté opposé 
passent par un même point. 
Soient a, b, c, d les points de rencontre du plan P avec les 
côtés AB, BC, CD, DA du quadrilatère gauche ABCD; nous 
avons 
, j aA bB cC dD ^ 
Æ'WcB'ïïX~ 
Il s'agit de démontrer que les quatre plans aCD, 5DA, cAB, dBC 
passent par un môme point. Désignons par O le point de ren 
contre des trois premiers; le plan mené par O et la droite BC 
coupe le côté DA au point d', et. d'après le théorème précédent, 
on a 
, 9 . aA 6B c C d'D 
al Wcü'WK~ 
En comparant les égalités (1) et (2), on voit que l’on a 
d'D dD 
WX~ïïX' 
et ceci montre que d'coïncide avec d, ou que le plan dBC passe 
par le point O (*). 
89. Un plan P rencontre les côtés AB, BC, CD, DA d'un quadrilatère 
gauche ABCD aux points a, b, c, d respectivement. On prend les 
symétriques a', b', c', d' de ces points par rapport aux milieux des 
côtés correspondants. 
1° Démontrer que les points a', b', c r , d' sont dans un même 
plan PC 
2° Les plans P, P' rencontrent la diagonale AC aux points O, OC 
Quelle est la relation qui lie ces deux points? Peuvent-ils être confondus ? 
(*) Guichard. — Compléments de géométrie, p. 72.