PÔLES ET POLAIRES DANS LE CERCLE 
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Première démonstration. — Puisque la division (CÜPQ) est 
harmonique (* (**) ), le faisceau (A.CDPQ) est aussi harmonique ( ), 
et comme les deux rayons conjugués AC, AD sont perpendicu- 
D 
laires, ce sont les bissectrices de l’angle PAQ (III, 67). Désignons 
par B' le deuxième point de rencontre du cercle et de la droite AQ ; 
AC, AD étant les bissectrices de l’angle BAB', les points C, D 
sont les milieux des arcs du cercle limités aux points B, B'. Par 
suite BB' est perpendiculaire à CD. 
D’autre part, la division (ABPM) étant harmonique, le fais 
ceau (Q.ABPM) l’est aussi. Mais le rayon QP est l’une des 
bissectrices de l’angle AQB ou B'QB; donc le rayon conjugué 
est l’autre bissectrice, et, par suite, OM est perpendiculaire 
à QP, ou à CD : c’est ce qu’il fallait démontrer. 
On voit ainsi que le point M est situé sur la droite A menée 
par le point Q perpendiculairement à OP, ce point étant défini 
par la relation 
OP■OQ = RC 
Si le point P est extérieur au cercle, le point Q est intérieur, 
et la droite A rencontre le cercle en deux points, qui sont les 
points de contact des tangentes menées au cercle par le point P. 
En effet, soient PE, PF ces tangentes, E, F les points de 
contact; la droite EF rencontre le diamètre OP orthogona- 
lement au point I, et dans le triangle rectangle OEP, on a 
OE 2 = 01. OP, 
ou 01.01* IC. 
(*) Nous entendons par là (III, 5) que P, Q sont conjugués harmoniques 
par rapport à C, D. 
(**) Gela veut dire (III, 62) que AP, AQ sont conjugués harmoniques par 
rapport à AC, AD.