PÔLES ET POLAIRES DANS LE CERCLE 
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Ceci montre bien que le point I coïncide avec le point O et la 
droite EF avec la droite A. 
On peut le voir autrement. Supposons que la sécante PAB se 
rapproche indéfiniment de la tangente PE; les points A, B 
viennent se confondre avec le 
point E, et le point M vient aussi 
lement; par suite, la droite EF 
coïncide avec A. 
P 
Si le point P est intérieur au 
cercle, le point O est extérieur 
et la droite A ne rencontre pas 
le cercle. 
Réciproquement, examinons si tout point M de la droite A est 
un point du lieu. 
Pour cela, menons la droite PM qui rencontre le cercle aux 
points A, B ; nous montrerons comme plus haut que la droite AQ 
rencontre le cercle au point B', symétrique de B par rap 
port à CD. Les droites OP, QM sont alors les bissectrices de 
1 angle AQB, et la division (ABPM) est harmonique; donc le 
. M\ 
aie I point M est un point du lieu. 
Ce raisonnement suppose que la droite PM rencontre le cercle 
— 
en deux naink A Tï 
A menée 1 ft Cela a toujours lieu si le point P est à l’intérieur du cercle. 
Dans ce cas, tous les points de A sont des points du lieu. 
Mais si le point P est à l’extérieur du cercle, la droite PM ne 
rencontre le cercle que si le point M est situé entre E et F. Le 
lieu du point M se compose 
alors seulement du segment EF 
de la droite A. 
La droite A est, par défini 
tion, la polaire du point P par 
D rapport au cercle. 
Deuxième démonstration (*). 
— Abaissons MO perpendiculaire 
sur OP; nous allons montrer 
que le point O est fixe. 
Puisque la division (ABMP) est harmonique, le cercle de 
diamètre MP est orthogonal au cercle donné (O) (III, 41); par 
(*) A. Maluski, Bulletin de Mathématiques élémentaires, 1 er avril 1896.