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PÔLES ET POLAIRES DANS LE CERCLE 
suite, le diamètre CD du cercle (O) est divisé harmoniquement 
par le cercle de diamètre MP. Or, ce cercle rencontre la droite CD 
aux points P, Q; donc le point Q est le conjugué harmonique 
de P par rapport aux points C, D. 
Le lieu du point M est donc la droite A. 
Troisième démonstration (*). 
— On a la relation (Ill, 12) 
2 _ l_ _ MA + MB 
M P MA M lî MA . MB ' 
Soit I le milieu de AB, on a 
(I, 9) 
MA + MB = 2 MI, 
et la relation précédente devient 
2 2 MI 
mp“mâ.mb ? 
ou MA. MB == MP. MI. 
Considérons le cercle de diamètre OP, qui passe par le point I : 
cette égalité prouve que le point M a même puissance par rap 
port au cercle donné (O) et au cercle de diamètre OP. Donc 
le point M est sur Taxe radical A de ces deux cercles. 
Cet axe rencontre OP en un point Q qui a même puissance 
par rapport aux deux cercles. La puissance du point O par 
rapport au cercle (O) est OO 2 — R 2 ; par rapport au cercle de 
diamètre OP, elle est égale à QO.QP, ou QO(QO-t-OP). On a 
donc 
0(J- — R 2 = (JO (QÜ + OP), 
ou OP.OQ = R 2 . 
Dans le cas où le point P est extérieur au cercle (O), les deux 
cercles se coupent en deux points E, F, qui sont les points de 
contact des tangentes menées au cercle (O) par le point P. 
Quatrième démonstration ((*) **). — Abaissons encore MO per 
pendiculaire sur OP, et désignons toujours par I le milieu de AB. 
(*) L. Gérard, Bulletin des Sciences Mathématiques et Physiques, 1 er jan 
vier 1906. 
(**) Compagnon, Nouvelles Annales de Mathématiques (avril 1872).