PÔLES ET POLAIRES DANS LE CERCLE 
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Soit A le pôle de la droite A ; la droite qui joint le point A au 
centre 0 du cercle est perpendiculaire à A, et rencontre A au 
point A'. On a 
OA.OV = R 2 . 
Soit D une droite quelconque 
passant par le pôle A de A; 
nous allons montrer que A 
passe par le pôle de D. 
Abaissons OB' perpendicu 
laire sur D, et désignons par B 
le point où cette perpendiculaire 
rencontre A. Nous avons comme 
précédemment 
ÔB. OB' = OA. OA' = B 2 , 
ce qui montre que B est le pôle de D. On voit ainsi que la 
droite A passe par le pôle de la droite D. 
On dit que deux droites sont conjuguées par rapport à un cer 
cle, lorsque chacune d’elles passe par le pôle de l’autre. 
Il résulte de ce qui précède que si deux points sont conjugués, 
leurs polaires sont des droites conjuguées, et, réciproquement, si deux 
droites sont conjuguées, leurs pôles sont des points conjugués. 
6. Si le point de rencontre I de deux droites conjuguées A, D est 
extérieur au cercle, ces droites sont conjuguées harmoniques par rap 
port aux tangentes menées au cercle par le point I. 
En effet, menons les tangentes IM, IN; MN est la polaire du 
point I. Comme ce point est situé sur les polaires des points 
A, B, la polaire de I doit passer par les points A, B (4). Donc les 
quatre points A, B, M, N sont en ligne droite, et comme A est 
la polaire de A, la division (ABMN) est harmonique. On en 
conclut que le faisceau (I.ABMN) est aussi harmonique, ce qui 
démontre la proposition. 
7. Théorème. — 1° Les polaires de tous les points d'une droite 
passent par le pôle de cette droite. 
2° Les pôles de toutes les droites qui passent par un point sont situés 
sur la polaire de ce point. 
C’est une conséquence immédiate des propriétés des points 
et des droites conjuguées.