.JO PÔLES ET POLAIRES DANS LE CERCLE
En particulier, la polaire du point de rencontre de deux droites est
la droite qui joint les pôles de ces droites, et le pôle de la droite passant
par deux points est le point de rencontre des polaires de ces deux points.
8. Triangles conjugués. — On dit qu’un triangle est
conjugué par rapport à un cercle, lorsque chaque côté du triangle
est la polaire du sommet opposé.
Il est facile de voir qu’il existe une infinité de triangles
conjugués par rapport à un cercle.
Soient A un point quelconque du
plan, et A sa polaire par rapport au
cercle. Prenons sur la droite A un
point arbitraire B; menons la
polaire du point B, qui passe par le
point A (puisque la polaire de A
passe par B), et qui rencontre A au
point C.
Le triangle ABC est conjugué par
rapport au cercle. En effet, d’après
la construction indiquée, la polaire
de A est la droite BC, celle de B
est AC; d’autre part, comme les polaires des points A, B
passent par le point C, la polaire de C passe par A et B (4) ;
c’est la droite AB.
Donc le triangle ABC est conjugué par rapport au cercle.
Or le point A a été choisi arbitrairement et le point B a été
pris quelconque sur la droite A; on en conclut qu’il existe une
infinité de triangles conjugués par rapport au cercle.
On dit aussi qu'un cercle est conjugué par rapport à un
triangle lorsque le triangle est conjugué par rapport au cercle.
9. Parmi les sommets d'un triangle conjugué, un seul est à l'intérieur
du cercle, les deux autres à l'extérieur.
En effet, si le point A est extérieur au cercle (c’est le cas de
la figure), sa polaire A rencontre le cercle en deux points 1, F,
et les points B, C sont conjugués harmoniques par rapport aux
points I, F; l’un de ces points, B, est compris entre I et F,
l’autre, C, est extérieur au segment IF. Le point B est intérieur
au cercle, les points A, C, extérieurs.
Si le point A est intérieur au cercle, sa polaire A ne rencontre
pas le cercle; les points B, C, qui sont situés sur A, sont tous
deux extérieurs au cercle.
