PÔLES ET POLAIRES PANS LE CERCLE 
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10. Considérons un triangle ABC conjugué par rapport à un 
cercle de centre O. Les droites OA, OB, OC sont respectivement 
perpendiculaires aux côtés BC, CA, AB du triangle; on en 
conclut que le point O est le point de concours des hauteurs. 
De plus, si A' désigne le point de rencontre de OA avec BC, les 
deux points A, A' sont d’un même côté du point O; par suite, le 
point O est extérieur au triangle. On en conclut que le triangle 
a un angle obtus. 
Donc, tout triangle conjugué par rapport à un cercle a un angle 
obtus. 
11. Etant donné un triangle qui a un angle obtus, il existe un cercle 
conjugué par rapport à ce triangle. ■ 
En effet, soit le triangle ABC qui a un angle obtus; menons 
les hauteurs AA', BB', CC', qui se coupent en un point O, situé 
à l'extérieur du triangle. 
Comme les quatre points A, A', B, B' sont sur un cercle, on a 
On a de même 
et, par suite, 
OA. OA' = OB . OF. 
OA .OA' = OC.OC', 
OA. OA' = OB . OB' — OC. OC 7 , 
et ces trois produits sont positifs. 
Le cercle qui a pour centre 
N 
polaire du point P par rapport 
(III, 70); donc elle rencontre 
le point O et dont le carré du 
rayon est égal à la valeur com 
mune de ces produits est le 
cercle conjugué par rapport au 
triangle. 
12. Théorème. — On donne 
un cercle et un point P; par ce 
point on mène deux sécantes PAB 
et PCD. Les droites AD, BC se 
coupent au point M, AC et BD au 
point N ; la droite MN est la 
polaire du point P par rapport au 
cercle. 
En effet, la droite MN est la 
chacun des angles AMB, ANB 
et CD en des points E, F, qui 
à 
AB