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PÔLES ET POLAIRES DANS LE CERCLE 
17. Trouver les points qui ont même polaire par rapport à deux 
cercles. 
Soient les deux cercles (O) et (()') qui rencontrent la ligne 
des centres 00' aux points A, B et A', B' respectivement. 
Les polaires d’un point P par rapport aux deux cercles sont 
perpendiculaires aux droites PO et PO'; pour que ces polaires 
soient confondues, il faut d’abord que PO et PO' soient paral 
lèles ou confondues. 
1° Si PO et PO' sont parallèles, le point P est à l’infini dans 
une direction L, et les polaires de ce point (2, 2°) sont les 
diamètres perpendiculaires à L. Pour que ces diamètres soient 
confondus, il faut et il suffit que L soit perpendiculaire à 00'. 
Nous trouvons ainsi un point à l’infini ayant même polaire 
par rapport aux deux cercles : c’est le point à l’infini dans la 
direction perpendiculaire à la ligne des centres 00', et sa 
polaire est la droite 00'. 
2° Si PO et PO' sont confondus, le point P est sur la droite 00', 
et si ce point a même polaire par rapport aux deux cercles, 
cette droite est perpendiculaire à 00' et rencontre 00' en un 
point P', qui doit être conjugué harmonique de P par rapport 
aux deux segments AB, A'B'. 
Or nous avons vu (III, 17) qu’il existe deux points P, P' con 
jugués harmoniques par 
rapport à ces deux seg 
ments ; pour les cons 
truire, on prend le point 
I où l’axe radical des 
deux cercles rencontre 
00', et par ce point on 
mène une tangente IT à 
l'un des cercles. Le cer 
cle qui a pour centre le 
point I et pour rayon IT 
rencontre 00' aux points cherchés P, P'. 
La polaire du point P est la même par rapport aux deux 
cercles : c'est la droite D, menée par P' perpendiculairement 
à 00'. Le point P' a aussi même polaire par rapport aux deux 
cercles : c’est la droite D', menée par P perpendiculairement 
à 00'. 
Les points P, P' ainsi construits sont les seuls points à 
distance finie qui ont même polaire par rapport aux deux cercles.