RAPPORT ANII.4RMONIQUE DE QUATRE POINTS 5 
8. Conséquence. — Nous venons d'établir les égalités 
(ÀBCD) = (CDAB) = (BADC), 
et, en appliquant le théorème 6 au dernier rapport, nous pou 
vons écrire 
(1) (ABCD) = (CDAB) = (BADC) = (DCBA). 
Ceci nous montre qu'étant donné un rapport anharmonique 
quelconque, il existe trois autres rapports anharmoniques qui 
lui sont égaux. Par suite, les vingt-quatre rapports anharmo 
niques de quatre points sont égaux quatre à quatre; il y a au 
plus six rapports distincts. 
Remarquons de plus que dans les quatre rapports égaux de 
la relation (1), la lettre D occupe un rang différent. On en con 
clut que pour obtenir les six rapports différents, il suffira de 
prendre les six permutations où la lettre D occupe le môme 
rang. 
Nous prendrons par exemple les permutations où D occupe 
le quatrième rang; ce sont celles qui sont écrites au commen 
cement de chaque ligne du tableau de toutes les permutations. 
Nous aurons les rapports anharmoniques : 
(ABCD), (ACBD), (CABD), 
(BACD), (BCAD), (CBAD). 
Nous allons maintenant étudier les relations qui existent 
entre ces six rapports. 
9. Théorème. — Si dans un rapport anharmonique on permute le 
premier point avec le deuxième, ou le troisième avec le quatrième. le 
rapport anharmonique se change en son inverse. 
II s'agit de démontrer les égalités 
(BACD) = 
Nous avons 
(BACD) 
(ABDC) = 
1 
(ABCD)’ 
(ABDC) 
CB 
llb 
CB. 
.DA 
CA 
DA 
CA. 
DB 
DA 
1^ 1 
loi 
1 
.CB 
DB 
CB 
I)B 
. CA 
d 
"(ABCD) 
1 
(ABCD) " 
d 
ABCD)