6 
RAPPORT A N H ARMONIQ 11 E 
10. Théorème. —Si dans un rapport anharmonique on permute le 
deuxième point avec le troisième, on obtient un nouveau rapport dont 
la somme avec le premier est égale à 1. 
Nous allons démontrer la relation 
(ABCD) + (ACBD) = 1 
Elle peut s’écrire successivement 
/CA , 
/BA . 
. 1)A \ - 
\CB ' 
' PB/ + ' 
VBC ' 
PC/ 
CA .PB B A .PC 
CB.PA BC.PA 
ou, en multipliant les deux membres par CB.PA, 
CA. PB — BA. PC = CB. LPA, 
ou enfin 
AB . CP + AC. PB + AP. BC = 0. 
On reconnaît la relation d’Euler qui a été établie au n° 28 du 
tome I. 
Le théorème est donc démontré. 
11. Conséquence. — Bevenons aux six rapports anharmoniques 
où la lettre P occupe le dernier rang, et posons 
p — (ABCP), Pl = (ACBP), p 2 = (CABP), 
P 3 = (BACP), p 4 = (B CAP), p K = (CBAP). 
En appliquant le théorème 9, nous avons 
1 1 1 
^-¡v 
et, en appliquant le théorème 10, 
PH~Pl = l> P3 + PA“!) P-2 ~+- P5 = 1 - 
Pe ces relations nous pouvons tirer les valeurs de p t . p 2 , p 3 , 
p 4 , p 5 en fonction de p. Nous obtenons 
3 4 4 
Pi = 1 P* = 
3 4 4 
P ‘ p’ Ps = ^_l' 
P