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RAPPORT ANHARMONIQUE 
22. Théorème. — Le rapport anharmonique de quatre points 
n'est pas altéré par une transformation homographique. 
Soient les quatre points A, B, C, D d’un axe Ox, ayant res 
pectivement pour abscisses a, b, c, d. Faisons la transforma 
tion homographique définie par la relation (1); aux points A, 
B, C, D correspondent les points A', B', C', D', dont les abscisses 
a', b', c', d'ont pour valeurs 
, ma -h n 
pia -f- g ’ 
j me H- n 
' ~ pc + g ’ 
_ mb H- n 
— pb + g ’ 
md H- n 
pd-hg ’ 
Nous allons démontrer que l’on a 
(A'B'C'D') = (ABCD), 
ou (20) 
c' — a' . d' — a' c — a . d — a 
c’ — b' ’ d' — 6' c — b ‘ d — b 
Nous avons en effet 
c — a — 
mc-L-n ma-L-n 
ou 
pc-+-q pa + q 
, _ (me -+- n) (pa + g) — {ma + n) (pc + g) 
{p°-Lq) [p a + q) 
ou encore 
, _ {mq — np) (c —a) 
{pc + q) (pa + q) 
Nous obtenons de même 
v _ _ ( m q — n P) jc-b) 
{pc + q) (pb + q) ’ 
par suite, en divisant membre à membre, 
c' — a' c — a pb 4- g 
c' — b' c — b pa-\-q 
On obtient par un calcul analogue 
d' — a' d — a pb-\- q 
d,' — b' d — b" pa-\- q’ 
et 
c' — a' d 1 — a' c — a d — a 
c' — b' ‘ d' — b' c — b ‘ d — b ’ 
ce qui démontre le théorème.