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RAPPORT ANHARMONIQUE 
Nous avons donc 
ÏA = _1 
IB — 4 
et ceci montre que le point I est fixe. 
Comme la polaire EF du point M passe par ce point fixe, le lieu 
du point M est la polaire du point I; c’est une droite A, perpen 
diculaire à AB, qui rencontre AB au point P, défini par la 
relation 
PA 
PB 
1 
112. On considère un triangle ABC et le cercle circonscrit à ce 
triangle, et on désigne par D le point de rencontre des tangentes aux 
points B et C. Par le point D on mène une droite variable qui ren 
contre AB au point 
E, AC au point F ; 
tes droites CE, BF 
se coupent au point 
M. Trouver le lieu 
géométrique du 
point M. 
E 
Nous allons éta 
blir que le lieu 
demandé est le 
cercle circonscrit 
au triangle ABC. 
En effet, pre 
nons un point M 
arbitraire sur le 
cercle, et traçons les droites CM, BM qui rencontrent AB, AC 
respectivement en E et F ; je dis que les points D, E, F sont 
en ligne droite. 
Pour le démontrer, il suffit d’appliquer le théorème de Pascal 
à l’hexagone inscrit qui a pour côtés consécutifs AB (1), la 
tangente BD (2), BM (3), MC (4), CD (3), CA (6); 1 et 4 se coupent 
au point E, 2 et 5 au point D, 3 et 6 au point F ; donc D, E, F 
sont en ligne droite. 
Dès lors, quand le point M se déplace sur le cercle, la 
droite EF tourne autour du point D en prenant toutes les posi 
tions possibles; on en conclut que le lieu demandé est le cercle 
circonscrit au triangle ABC.