RAPPORT ANHARMONIQUE DE QUATRE POINTS 
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Deuxième démonstration. — Désignons par a, b, c, d, m les 
abscisses des points A, B, C, D, M par rapport à une origine 
arbitrairement choisie sur la droite qui porte ces points. Le 
second membre de la formule à établir a pour valeur 
b — 
m 
d — 
m 
b — 
a 
d — 
a 
b — 
m 
c — 
m 
b — 
a 
c — 
a 
ou 
(b — m) (d — a) — (d — m) (b — a) c — a 
' ' (b — m) (c — a) — (c — m) (b — a) d — a 
Ordonnons par rapport à m les deux termes de la première 
fraction de ce produit; elle prend la forme 
m(b — d) — a (b — d) (m — a) (b — d) 
m (b — c) — a (b — c) ’ OU (m — a) (b — c) ’ 
ou enfin 
b — d 
b — c 
Par suite, le produit (3) est égal à 
b — d c — a 
b — c d — a’ 
ou à 
c — a d — a 
c — b ' d — 6 ’ 
c’est-à-dire à (ABCD). 
Bemarque. — Dans le second membre de la formule (1), que 
nous venons d’établir, divisons haut et bas par MB ; nous avons 
J d_ MD 
(ABCD) = ^— Ai) MB 
J 1 MC 
AB AC'MB 
Supposons que le point M s’éloigne indéfiniment sur la 
MD MC 
droite ABCD; les rapports ==> = ont pour limite 1 (I, 15). 
MB MB 
et, par suite, la formule devient 
(ABCD) = 
1 1 
ÀB AD 
J i_ 
AB ÂC 
Cette relation a été établie directement au n° 25.