RAPPORT ANHARMONIQUE 
D’UN FAISCEAU DE QUATRE DROITES 
30. On appelle faisceau de droites un ensemble de droites 
situées dans un même plan et passant par un même point. Ces 
droites sont appelées les rayons du faisceau et leur point de 
rencontre est appelé le sommet du faisceau. 
31. Théorème. — On considère un faisceau de quatre droites 
A,, A,, A 4 , passant par le point O, et deux sécantes, L et L', rencon 
trant les droites du faisceau aux points A, B, C, D et A', B', C', D' 
respectivement. Démontrer que les rapports anharmoniques (ABCD) et 
(A'B'C'D') sont égaux. 
Nous allons donner trois démonstrations de ce théorème, tout 
à fait analogues à Celles que nous avons données du théorème 
n° 60 dans le tome III. 
Première démonstration. — Menons par le point B la paral 
lèle à A 1? qui rencontre A 3 , A 4 aux points E, F. 
Si l’on considère le triangle OAC coupé par la parallèle BE 
au côté AO, on a (I, 18) 
CA_ AÜ 
CB~ BE* 
De même, en considérant le triangle OAD, coupé parla paral 
lèle BF au côté AO, on a 
DA__ AO 
DB ÏÏF* 
Divisons ces deux égalités membre à membre; nous obtenons 
BE 
(ABCD) = ~. 
BE 
De même, si nous menons B'E'F' parallèle à A*, nous avons 
(A'B'C'D') = =• 
B'E'